integral of x*sqrt(x-2)

解答

\int x \cdot x - 2 d x

\frac{2}{5} (x - 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} (x - 2)^{\frac{3}{2}} + C

求解步骤

\int x x - 2 d x

使用换元积分法

= \int (u + 2) u d u

乘开

(u + 2) u : u^{\frac{3}{2}} + 2 u

= \int u^{\frac{3}{2}} + 2 u d u

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int 2 u d u

\int u^{\frac{3}{2}} d u = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}

\int 2 u d u = \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}}

= \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}}

u = x - 2

代回

= \frac{2}{5} (x - 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} (x - 2)^{\frac{3}{2}}

解答补常数

= \frac{2}{5} (x - 2)^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} (x - 2)^{\frac{3}{2}} + C

\int - \frac{1}{8} e^{- 2 x} d x

\int (\frac{sin ( 2 x )}{1 + cos ^{2} ( x )}) d x

\int \frac{x ^{3}}{x + 4} d x

\int \frac{x ^{\frac{1}{2}}}{x + x ^{\frac{2}{3}}} d x

\int 4 x (x + 2)^{7} d x