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integral of (sqrt(x+1))/(x^{5/2)}

解答

\int \frac{x + 1}{x ^{\frac{5}{2}}} d x

解答

- \frac{2 ( x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{\frac{3}{2}}} + C

求解步骤

\int \frac{x + 1}{x ^{\frac{5}{2}}} d x

使用换元积分法

= \int \frac{2 u ^{2}}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{5}{2}}} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u ^{2}}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{5}{2}}} d u

使用三角换元法

= 2 \cdot \int cot^{4} (v) sec^{3} (v) d v

使用三角恒等式改写

= 2 \cdot \int \frac{cos ( v )}{sin ^{4} ( v )} d v

使用换元积分法

= 2 \cdot \int \frac{1}{w ^{4}} d w

使用幂法则

= 2 (- \frac{1}{3 w ^{3}})

代回

= 2 (- \frac{1}{3 sin ^{3} ( arcsec ( x + 1 ) )})

化简

2 (- \frac{1}{3 sin ^{3} ( arcsec ( x + 1 ) )}) : - \frac{2 ( x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{\frac{3}{2}}}

= - \frac{2 ( x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{\frac{3}{2}}}

解答补常数

= - \frac{2 ( x + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{\frac{3}{2}}} + C

作图

流行的例子

integral of 1/(4+4sin(x))

\int \frac{1}{4 + 4 sin ( x )} d x

integral of (ln(x))/(x^{13)}

\int \frac{ln ( x )}{x ^{13}} d x

integral of 4e^{-2x}+5e^{3x}

\int 4 e^{- 2 x} + 5 e^{3 x} d x

integral of (x/(sqrt(x^2-9)))

\int (\frac{x}{x ^{2} - 9}) d x

integral of 2e^{-2x}+4x+1

\int 2 e^{- 2 x} + 4 x + 1 d x