integral of tan^2(θ)sec^3(θ)

解答

\int tan^{2} (θ) sec^{3} (θ) d θ

- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} sec (θ) tan (θ) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (θ) + sec (θ) ∣) + \frac{1}{4} sec^{4} (θ) sin (θ) + C

求解步骤

\int tan^{2} (θ) sec^{3} (θ) d θ

使用三角恒等式改写

= \int (- 1 + sec^{2} (θ)) sec^{3} (θ) d θ

乘开

(- 1 + sec^{2} (θ)) sec^{3} (θ) : - sec^{3} (θ) + sec^{5} (θ)

= \int - sec^{3} (θ) + sec^{5} (θ) d θ

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int sec^{3} (θ) d θ + \int sec^{5} (θ) d θ

\int sec^{3} (θ) d θ = \frac{1}{2} sec (θ) tan (θ) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (θ) + sec (θ) ∣

\int sec^{5} (θ) d θ = \frac{sec ^{4} ( θ ) sin ( θ )}{4} + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} sec (θ) tan (θ) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (θ) + sec (θ) ∣)

= - (\frac{1}{2} sec (θ) tan (θ) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (θ) + sec (θ) ∣) + \frac{sec ^{4} ( θ ) sin ( θ )}{4} + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} sec (θ) tan (θ) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (θ) + sec (θ) ∣)

化简

- (\frac{1}{2} sec (θ) tan (θ) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (θ) + sec (θ) ∣) + \frac{sec ^{4} ( θ ) sin ( θ )}{4} + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} sec (θ) tan (θ) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (θ) + sec (θ) ∣) : - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} sec (θ) tan (θ) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (θ) + sec (θ) ∣) + \frac{1}{4} sec^{4} (θ) sin (θ)

= - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} sec (θ) tan (θ) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (θ) + sec (θ) ∣) + \frac{1}{4} sec^{4} (θ) sin (θ)

解答补常数

= - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} sec (θ) tan (θ) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (θ) + sec (θ) ∣) + \frac{1}{4} sec^{4} (θ) sin (θ) + C

\int (tan (x) - 2) d x

\int x 2 1^{x} d x

\int - \frac{58}{( 3 x + 2 ) ^{2}} d x

\int \frac{x - 48}{x ^{2} - x - 6} d x

\int + sin (6 x) cos (6 x) d x