integral of e^{(-x^2)/a}

Lösung

\int e^{\frac{- x ^{2}}{a}} d x

a \frac{π}{2} erf (\frac{x}{a}) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{\frac{- x ^{2}}{a}} d x

Vereinfache

= \int e^{- \frac{x ^{2}}{a}} d x

Wende Exponentenregel an:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{x ^{2}}{a} = (\frac{x}{a})^{2}

= \int e^{- (\frac{x}{a})^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int e^{- u^{2}} a d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a \cdot \int e^{- u^{2}} d u

Das ist ein nicht elementares Integral :

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= a \frac{π}{2} erf (u)

Setze in

u = \frac{x}{a}

ein

= a \frac{π}{2} erf (\frac{x}{a})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= a \frac{π}{2} erf (\frac{x}{a}) + C

\int 3 x^{4} + 2 x^{3} d x

\int 3 x^{2} e^{x - 1} d x

\int e^{t} cos (n t) d t

\int \frac{1}{cos ^{2} ( x ) - cos ( 2 x )} d x

\int \frac{2 x ^{2}}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}} d x