integral of (sin(x))/(2^{-x)}

Lösung

\int \frac{sin ( x )}{2 ^{- x}} d x

- \frac{2 ^{x} cos ( x )}{1 + ln ^{2} ( 2 )} + \frac{ln ( 2 ) \cdot 2 ^{x} sin ( x )}{1 + ln ^{2} ( 2 )} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ( x )}{2 ^{- x}} d x

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{2 ^{- x}} : 2^{x} sin (x)

= \int 2^{x} sin (x) d x

Wende die partielle Integration an

= - 2^{x} cos (x) - \int - ln (2) \cdot 2^{x} cos (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 2^{x} cos (x) - (- ln (2) \cdot \int 2^{x} cos (x) d x)

Wende die partielle Integration an

= - 2^{x} cos (x) - (- ln (2) (2^{x} sin (x) - \int 2^{x} ln (2) sin (x) d x))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 2^{x} cos (x) - (- ln (2) (2^{x} sin (x) - ln (2) \cdot \int 2^{x} sin (x) d x))

Deshalb

\int 2^{x} sin (x) d x = - 2^{x} cos (x) - (- ln (2) (2^{x} sin (x) - ln (2) \cdot \int 2^{x} sin (x) d x))

Isoliere

\int 2^{x} sin (x) d x

= - \frac{2 ^{x} cos ( x )}{1 + ln ^{2} ( 2 )} + \frac{ln ( 2 ) \cdot 2 ^{x} sin ( x )}{1 + ln ^{2} ( 2 )}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{2 ^{x} cos ( x )}{1 + ln ^{2} ( 2 )} + \frac{ln ( 2 ) \cdot 2 ^{x} sin ( x )}{1 + ln ^{2} ( 2 )} + C

\int 2 x y^{- 2} d x

\int \frac{x - 23}{x ^{2} - x - 6} d x

\int (8 x + 10) d x

\int \frac{1}{3 v} d v

\int (x^{3} - 2) e^{x} d x