integral of 1/(-x^2+2x+2)

Lösung

\int \frac{1}{- x ^{2} + 2 x + 2} d x

\frac{1}{2 3} (ln \frac{x - 1}{3} + 1 - ln \frac{x - 1}{3} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{- x ^{2} + 2 x + 2} d x

Vervollständige das Quadrat

- x^{2} + 2 x + 2 : - (x - 1)^{2} + 3

= \int \frac{1}{- ( x - 1 ) ^{2} + 3} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{- u ^{2} + 3} d u

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{3 ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= \frac{1}{3} (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2})

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} \frac{ln \frac{x - 1}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x - 1}{3} - 1}{2}

Vereinfache

\frac{1}{3} \frac{ln \frac{x - 1}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x - 1}{3} - 1}{2} : \frac{1}{2 3} (ln \frac{x - 1}{3} + 1 - ln \frac{x - 1}{3} - 1)

= \frac{1}{2 3} (ln \frac{x - 1}{3} + 1 - ln \frac{x - 1}{3} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2 3} (ln \frac{x - 1}{3} + 1 - ln \frac{x - 1}{3} - 1) + C

\int \frac{1}{1 - 6 x - 9 x ^{2}} d x

\int x^{2} (1 - x^{3}) d x

\int sinh^{3} (2 x) cosh (2 x) d x

\int \frac{e ^{x} + 2}{e ^{2 x} + 2 e ^{x} + 5} d x

\int \frac{18 t - 5}{9 t ^{2} - 5 t + 2} d t