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integral of sqrt(-x^2+2x+2)

Lösung

\int - x^{2} + 2 x + 2 d x

\frac{3}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 1)))) + C

Schritte zur Lösung

\int - x^{2} + 2 x + 2 d x

Vervollständige das Quadrat

- x^{2} + 2 x + 2 : - (x - 1)^{2} + 3

= \int - (x - 1)^{2} + 3 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 3 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 3 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 3 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 3 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 1))))

Vereinfache

3 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 1)))) : \frac{3}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 1))))

= \frac{3}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 1))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{3}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 1)))) + C

\int \frac{2 x ^{5}}{x ^{6} + 5} d x

\int e^{3 + 3 y} d y

\int \frac{5}{6} d x

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} - 9 ) ^{2}} d x

\int \frac{x}{( x - 1 ) ( 2 x + 5 ) ^{2} ( 3 x - 1 ) ^{2}} d x