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人気のある微分積分 >

integral of 1/(7cos(x)-4sin(x)+8)

解

\int \frac{1}{7 cos ( x ) - 4 sin ( x ) + 8} d x

解

- ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + ln tan (\frac{x}{2}) - 5 + C

解答ステップ

\int \frac{1}{7 cos ( x ) - 4 sin ( x ) + 8} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{2}{u ^{2} - 8 u + 15} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 8 u + 15} d u

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{u ^{2} - 8 u + 15} : - \frac{1}{2 ( u - 3 )} + \frac{1}{2 ( u - 5 )}

= 2 \cdot \int - \frac{1}{2 ( u - 3 )} + \frac{1}{2 ( u - 5 )} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int \frac{1}{2 ( u - 3 )} d u + \int \frac{1}{2 ( u - 5 )} d u)

\int \frac{1}{2 ( u - 3 )} d u = \frac{1}{2} ln ∣ u - 3 ∣

\int \frac{1}{2 ( u - 5 )} d u = \frac{1}{2} ln ∣ u - 5 ∣

= 2 (- \frac{1}{2} ln ∣ u - 3 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ u - 5 ∣)

代用を戻す

u = tan (\frac{x}{2})

= 2 (- \frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + \frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) - 5)

簡素化

2 (- \frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + \frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) - 5) : - ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + ln tan (\frac{x}{2}) - 5

= - ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + ln tan (\frac{x}{2}) - 5

定数を解答に追加する

= - ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + ln tan (\frac{x}{2}) - 5 + C

グラフ

人気の例

integral of (5^{2x}+3^{2x})/(3^{2x)}

\int \frac{5 ^{2 x} + 3 ^{2 x}}{3 ^{2 x}} d x

integral of (x^2)/((x-4))

\int \frac{x ^{2}}{( x - 4 )} d x

integral of (1/(x^2))sin(pi/x)

\int (\frac{1}{x ^{2}}) sin (\frac{π}{x}) d x

integral of t^2sin(θ)t

\int t^{2} sin (θ) t d t

integral of sin^{-5}(x)cos^7(x)

\int sin^{- 5} (x) cos^{7} (x) d x