integral of 1/(7cos(x)-4sin(x)+8)

Lösung

\int \frac{1}{7 cos ( x ) - 4 sin ( x ) + 8} d x

- ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + ln tan (\frac{x}{2}) - 5 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{7 cos ( x ) - 4 sin ( x ) + 8} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{u ^{2} - 8 u + 15} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 8 u + 15} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ^{2} - 8 u + 15} : - \frac{1}{2 ( u - 3 )} + \frac{1}{2 ( u - 5 )}

= 2 \cdot \int - \frac{1}{2 ( u - 3 )} + \frac{1}{2 ( u - 5 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int \frac{1}{2 ( u - 3 )} d u + \int \frac{1}{2 ( u - 5 )} d u)

\int \frac{1}{2 ( u - 3 )} d u = \frac{1}{2} ln ∣ u - 3 ∣

\int \frac{1}{2 ( u - 5 )} d u = \frac{1}{2} ln ∣ u - 5 ∣

= 2 (- \frac{1}{2} ln ∣ u - 3 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ u - 5 ∣)

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= 2 (- \frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + \frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) - 5)

Vereinfache

2 (- \frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + \frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) - 5) : - ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + ln tan (\frac{x}{2}) - 5

= - ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + ln tan (\frac{x}{2}) - 5

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln tan (\frac{x}{2}) - 3 + ln tan (\frac{x}{2}) - 5 + C

\int \frac{5 ^{2 x} + 3 ^{2 x}}{3 ^{2 x}} d x

\int \frac{x ^{2}}{( x - 4 )} d x

\int (\frac{1}{x ^{2}}) sin (\frac{π}{x}) d x

\int t^{2} sin (θ) t d t

\int sin^{- 5} (x) cos^{7} (x) d x