integral of sin^2(φ)cos^6(φ)

解答

\int sin^{2} (φ) cos^{6} (φ) d φ

\frac{5}{192} cos^{3} (φ) sin (φ) + \frac{1}{6} cos^{5} (φ) sin (φ) + \frac{5}{32} (2 φ + sin (2 φ)) - \frac{1}{8} cos^{7} (φ) sin (φ) - \frac{7}{48} cos^{5} (φ) sin (φ) - \frac{35}{256} (2 φ + sin (2 φ)) + C

求解步骤

\int sin^{2} (φ) cos^{6} (φ) d φ

使用三角恒等式改写

= \int (1 - cos^{2} (φ)) cos^{6} (φ) d φ

乘开

(1 - cos^{2} (φ)) cos^{6} (φ) : cos^{6} (φ) - cos^{8} (φ)

= \int cos^{6} (φ) - cos^{8} (φ) d φ

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int cos^{6} (φ) d φ - \int cos^{8} (φ) d φ

\int cos^{6} (φ) d φ = \frac{sin ( φ ) cos ^{5} ( φ )}{6} + \frac{5}{6} (\frac{1}{4} cos^{3} (φ) sin (φ) + \frac{3}{8} (φ + \frac{1}{2} sin (2 φ)))

\int cos^{8} (φ) d φ = \frac{sin ( φ ) cos ^{7} ( φ )}{8} + \frac{7}{8} (\frac{sin ( φ ) cos ^{5} ( φ )}{6} + \frac{5}{6} (\frac{1}{4} cos^{3} (φ) sin (φ) + \frac{3}{8} (φ + \frac{1}{2} sin (2 φ))))

= \frac{sin ( φ ) cos ^{5} ( φ )}{6} + \frac{5}{6} (\frac{1}{4} cos^{3} (φ) sin (φ) + \frac{3}{8} (φ + \frac{1}{2} sin (2 φ))) - (\frac{sin ( φ ) cos ^{7} ( φ )}{8} + \frac{7}{8} (\frac{sin ( φ ) cos ^{5} ( φ )}{6} + \frac{5}{6} (\frac{1}{4} cos^{3} (φ) sin (φ) + \frac{3}{8} (φ + \frac{1}{2} sin (2 φ)))))

化简

\frac{sin ( φ ) cos ^{5} ( φ )}{6} + \frac{5}{6} (\frac{1}{4} cos^{3} (φ) sin (φ) + \frac{3}{8} (φ + \frac{1}{2} sin (2 φ))) - (\frac{sin ( φ ) cos ^{7} ( φ )}{8} + \frac{7}{8} (\frac{sin ( φ ) cos ^{5} ( φ )}{6} + \frac{5}{6} (\frac{1}{4} cos^{3} (φ) sin (φ) + \frac{3}{8} (φ + \frac{1}{2} sin (2 φ))))) : \frac{5}{192} cos^{3} (φ) sin (φ) + \frac{1}{6} cos^{5} (φ) sin (φ) + \frac{5}{32} (2 φ + sin (2 φ)) - \frac{1}{8} cos^{7} (φ) sin (φ) - \frac{7}{48} cos^{5} (φ) sin (φ) - \frac{35}{256} (2 φ + sin (2 φ))

= \frac{5}{192} cos^{3} (φ) sin (φ) + \frac{1}{6} cos^{5} (φ) sin (φ) + \frac{5}{32} (2 φ + sin (2 φ)) - \frac{1}{8} cos^{7} (φ) sin (φ) - \frac{7}{48} cos^{5} (φ) sin (φ) - \frac{35}{256} (2 φ + sin (2 φ))

解答补常数

= \frac{5}{192} cos^{3} (φ) sin (φ) + \frac{1}{6} cos^{5} (φ) sin (φ) + \frac{5}{32} (2 φ + sin (2 φ)) - \frac{1}{8} cos^{7} (φ) sin (φ) - \frac{7}{48} cos^{5} (φ) sin (φ) - \frac{35}{256} (2 φ + sin (2 φ)) + C

\int \frac{1}{( e ^{x} )} d x

\int \frac{2}{9} x e^{- (\frac{x}{3})^{2}} d x

\int \frac{2 ^{l n (z^{3})}}{16 z} d z

\int - t arctan (t) d t

\int 8 x^{3} + 9 x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} d x