integral of (sin(θ)cos(θ))/(1+sin^2(θ))

Lösung

\int \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{1 + sin ^{2} ( θ )} d θ

\frac{1}{2} ln 1 + sin^{2} (θ) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{1 + sin ^{2} ( θ )} d θ

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{sin ( 2 θ )}{2 ( 1 + sin ^{2} ( θ ) )} d θ

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{sin ( 2 θ )}{1 + sin ^{2} ( θ )} d θ

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

= \frac{1}{2} ln ∣ u ∣

Setze in

u = 1 + sin^{2} (θ)

ein

= \frac{1}{2} ln 1 + sin^{2} (θ)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ln 1 + sin^{2} (θ) + C

\frac{\partial}{\partial x} (x^{3} + y^{3})

\frac{\partial}{\partial x} (ln (x^{2} + 3 y))

\frac{d}{d t} (2 t + 7)

\int_{1}^{2} \frac{4}{( x - 1 ) ^{\frac{1}{4}}} d x

x \to 3 + lim (\frac{3 x}{x - 3})