интеграл от 1/((4x^2-25)^{3/2)}

Решение

\int \frac{1}{( 4 x ^{2} - 25 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

- \frac{x}{25 ( 4 x ^{2} - 25 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Шаги решения

\int \frac{1}{( 4 x ^{2} - 25 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Умножьте на сопряженное

4 x^{2} - 25 : \frac{16 x ^{4} - 625}{4 x ^{2} + 25}

= \int \frac{1}{( \frac{16 x ^{4} - 625}{4 x ^{2} + 25} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{50 ( ( u + 1 ) ( u - 1 ) ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{50} \cdot \int \frac{1}{( ( u + 1 ) ( u - 1 ) ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Умножьте на сопряженное

u + 1 : \frac{u ^{2} - 1}{u - 1}

= \frac{1}{50} \cdot \int \frac{1}{( \frac{u ^{2} - 1}{u - 1} ( u - 1 ) ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Умножьте

\frac{u ^{2} - 1}{u - 1} (u - 1) : u^{2} - 1

= \frac{1}{50} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Примените тригонометрическую подстановку

= \frac{1}{50} \cdot \int cot^{2} (v) sec (v) d v

Упростить

cot^{2} (v) sec (v) : cot (v) csc (v)

= \frac{1}{50} \cdot \int cot (v) csc (v) d v

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{50} \cdot \int - 1 d w

Интеграл константы:

\int a d x = a x

= \frac{1}{50} (- 1) w

Делаем обратную замену

= \frac{1}{50} (- 1) csc (arcsec (\frac{2}{5} x))

Упростите

\frac{1}{50} (- 1) csc (arcsec (\frac{2}{5} x)) : - \frac{x}{25 ( 4 x ^{2} - 25 ) ^{\frac{1}{2}}}

= - \frac{x}{25 ( 4 x ^{2} - 25 ) ^{\frac{1}{2}}}

Добавить константу к решению

= - \frac{x}{25 ( 4 x ^{2} - 25 ) ^{\frac{1}{2}}} + C