integral of (x^2)/((x-6)(x-7)^2)

解

\int \frac{x ^{2}}{( x - 6 ) ( x - 7 ) ^{2}} d x

36 ln ∣ x - 6 ∣ - 35 ln ∣ x - 7 ∣ - \frac{49}{x - 7} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2}}{( x - 6 ) ( x - 7 ) ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{2}}{( x - 6 ) ( x - 7 ) ^{2}} : \frac{36}{x - 6} - \frac{35}{x - 7} + \frac{49}{( x - 7 ) ^{2}}

= \int \frac{36}{x - 6} - \frac{35}{x - 7} + \frac{49}{( x - 7 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{36}{x - 6} d x - \int \frac{35}{x - 7} d x + \int \frac{49}{( x - 7 ) ^{2}} d x

\int \frac{36}{x - 6} d x = 36 ln ∣ x - 6 ∣

\int \frac{35}{x - 7} d x = 35 ln ∣ x - 7 ∣

\int \frac{49}{( x - 7 ) ^{2}} d x = - \frac{49}{x - 7}

= 36 ln ∣ x - 6 ∣ - 35 ln ∣ x - 7 ∣ - \frac{49}{x - 7}

定数を解答に追加する

= 36 ln ∣ x - 6 ∣ - 35 ln ∣ x - 7 ∣ - \frac{49}{x - 7} + C