inverselaplace 1/((s^2-1)^2)

解

逆ラプラス

\frac{1}{( s ^{2} - 1 ) ^{2}}

\frac{1}{4} e^{- t} + \frac{e ^{- t} t}{4} - \frac{1}{4} e^{t} + \frac{e ^{t} t}{4}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{( s ^{2} - 1 ) ^{2}}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{( s ^{2} - 1 ) ^{2}} : \frac{1}{4 ( s + 1 )} + \frac{1}{4 ( s + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{4 ( s - 1 )} + \frac{1}{4 ( s - 1 ) ^{2}}

= L^{- 1} {\frac{1}{4 ( s + 1 )} + \frac{1}{4 ( s + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{4 ( s - 1 )} + \frac{1}{4 ( s - 1 ) ^{2}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{4 ( s + 1 )}} + L^{- 1} {\frac{1}{4 ( s + 1 ) ^{2}}} - L^{- 1} {\frac{1}{4 ( s - 1 )}} + L^{- 1} {\frac{1}{4 ( s - 1 ) ^{2}}}

L^{- 1} {\frac{1}{4 ( s + 1 )}} : \frac{1}{4} e^{- t}

L^{- 1} {\frac{1}{4 ( s + 1 ) ^{2}}} : \frac{e ^{- t} t}{4}

L^{- 1} {\frac{1}{4 ( s - 1 )}} : \frac{1}{4} e^{t}

L^{- 1} {\frac{1}{4 ( s - 1 ) ^{2}}} : \frac{e ^{t} t}{4}

= \frac{1}{4} e^{- t} + \frac{e ^{- t} t}{4} - \frac{1}{4} e^{t} + \frac{e ^{t} t}{4}