integral de 1/(1+sin(x)cos(x))

Solución

\int \frac{1}{1 + sin ( x ) cos ( x )} d x

\frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 tan (x) + 1)) + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{1 + sin ( x ) cos ( x )} d x

Aplicar integración por sustitución trigonométrica

: \int \frac{1}{1 + u ^{2} + u} d u

= \int \frac{1}{1 + u ^{2} + u} d u

Completar el cuadrado

1 + u^{2} + u : (u + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int \frac{1}{( u + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d u

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{4}{4 v ^{2} + 3} d v

= \int \frac{4}{4 v ^{2} + 3} d v

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 v ^{2} + 3} d v

Aplicar integración por sustitución

= 4 \cdot \int \frac{1}{2 3 ( w ^{2} + 1 )} d w

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Aplicar la regla de integración:

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (w)

Sustitución hacia atrás

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (tan (x) + \frac{1}{2}))

Simplificar

4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (tan (x) + \frac{1}{2})) : \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 tan (x) + 1))

= \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 tan (x) + 1))

Agregar una constante a la solución

= \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 tan (x) + 1)) + C

(1 + x)^{- \frac{6}{5}}

\int t sin (π t) d t

y = (1 - 3 x)^{10}, (0, 1)

\int e^{5 - x} d x

\int 10 x 5 x^{2} - 1 d x