integral of sin^4(2θ)

Lösung

\int sin^{4} (2 θ) d θ

\frac{1}{2} (- \frac{1}{4} sin^{3} (2 θ) cos (2 θ) + \frac{3}{8} (2 θ - \frac{1}{2} sin (4 θ))) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{4} (2 θ) d θ

Wende U-Substitution an

= \int sin^{4} (u) \frac{1}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int sin^{4} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= \frac{1}{2} (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \int sin^{2} (u) d u)

\int sin^{2} (u) d u = \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

= \frac{1}{2} (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

Setze in

u = 2 θ

ein

= \frac{1}{2} (- \frac{cos ( 2 θ ) sin ^{3} ( 2 θ )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (2 θ - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 2 θ)))

Vereinfache

\frac{1}{2} (- \frac{cos ( 2 θ ) sin ^{3} ( 2 θ )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (2 θ - \frac{1}{2} sin (2 \cdot 2 θ))) : \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} sin^{3} (2 θ) cos (2 θ) + \frac{3}{8} (2 θ - \frac{1}{2} sin (4 θ)))

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} sin^{3} (2 θ) cos (2 θ) + \frac{3}{8} (2 θ - \frac{1}{2} sin (4 θ)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} sin^{3} (2 θ) cos (2 θ) + \frac{3}{8} (2 θ - \frac{1}{2} sin (4 θ))) + C

\frac{\partial}{\partial y} (x sin (y - z))

x \to 2 lim ((f (x))^{3})

\int - \frac{x ^{2}}{2} d x

\frac{d}{d x} (3 sin (x) - x)

\frac{\partial}{\partial x} (3 x^{2} + 3 y^{2})