integral of t^3e^{-3t}

解

\int t^{3} e^{- 3 t} d t

- \frac{1}{3} e^{- 3 t} t^{3} - \frac{1}{27} (9 e^{- 3 t} t^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 t} t - e^{- 3 t})) + C

解答ステップ

\int t^{3} e^{- 3 t} d t

部分積分を適用する

= - \frac{1}{3} e^{- 3 t} t^{3} - \int - e^{- 3 t} t^{2} d t

\int - e^{- 3 t} t^{2} d t = \frac{1}{27} (9 e^{- 3 t} t^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 t} t - e^{- 3 t}))

= - \frac{1}{3} e^{- 3 t} t^{3} - \frac{1}{27} (9 e^{- 3 t} t^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 t} t - e^{- 3 t}))

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{3} e^{- 3 t} t^{3} - \frac{1}{27} (9 e^{- 3 t} t^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 t} t - e^{- 3 t})) + C