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integral from 0 to pi/6 of sqrt(1-cos(6x))

Lösung

\int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - cos (6 x) d x

\frac{2}{3}

Dezimale

0.47140 \dots

Schritte zur Lösung

\int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - cos (6 x) d x

Wende integrale Substitution an

= \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{2} 1 - cos (3 u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{3}} 1 - cos (3 u) d u

Wende integrale Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{1}{2} 1 - cos (\frac{3 v}{2}) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} 1 - cos (\frac{3 v}{2}) d v

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{π} 1 - cos (w) \frac{2}{3} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \int_{0}^{π} 1 - cos (w) d w

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \int_{0}^{π} 2 sin^{2} (\frac{w}{2}) d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot \int_{0}^{π} sin^{2} (\frac{w}{2}) d w

Wende Exponentenregel an:

a^{2} = ∣ a ∣

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot \int_{0}^{π} sin (\frac{w}{2}) d w

Entferne die Extremwerte

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot \int_{0}^{π} sin (\frac{w}{2}) d w

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (t) \cdot 2 d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (t) d t

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sin (t) d t = - cos (t)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot 2 [- cos (t)]_{0}^{\frac{π}{2}}

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} 2 \cdot 2 [- cos (t)]_{0}^{\frac{π}{2}} : \frac{2}{3} [- cos (t)]_{0}^{\frac{π}{2}}

= \frac{2}{3} [- cos (t)]_{0}^{\frac{π}{2}}

Berechne die Grenzen:

1

= \frac{2}{3} \cdot 1

Vereinfache

= \frac{2}{3}

d er i v a t i v e y = 3 1 + 5 x

\int \frac{5 + x + x ^{2}}{x} d x

\frac{\partial}{\partial x} (8 x^{2} y - 3)

x \to - 2 lim (- x^{2} - 4 x)

x \to 0 - lim (x^{2} + \frac{1}{x})