inverselaplace 1/((1-s)*(s^2+1))

解

逆ラプラス

\frac{1}{( 1 - s ) \cdot ( s ^{2} + 1 )}

- \frac{1}{2} e^{t} + \frac{1}{2} cos (t) + \frac{1}{2} sin (t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{( - s + 1 ) ( s ^{2} + 1 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{( 1 - s ) ( s ^{2} + 1 )} : - \frac{1}{2 ( s - 1 )} + \frac{s + 1}{2 ( s ^{2} + 1 )}

= L^{- 1} {- \frac{1}{2 ( s - 1 )} + \frac{s + 1}{2 ( s ^{2} + 1 )}}

拡張

= L^{- 1} {\frac{s}{2 ( s ^{2} + 1 )} + \frac{1}{2 ( s ^{2} + 1 )} - \frac{1}{2 ( s - 1 )}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{s - 1}} + \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 1}} + \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 1}}

L^{- 1} {\frac{1}{s - 1}} : e^{t}

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 1}} : cos (t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 1}} : sin (t)

= - \frac{1}{2} e^{t} + \frac{1}{2} cos (t) + \frac{1}{2} sin (t)