integral of (x^2+1)/((x-3)(x-2)^2)

解

\int \frac{x ^{2} + 1}{( x - 3 ) ( x - 2 ) ^{2}} d x

10 ln ∣ x - 3 ∣ - 9 ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{5}{x - 2} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} + 1}{( x - 3 ) ( x - 2 ) ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{2} + 1}{( x - 3 ) ( x - 2 ) ^{2}} : \frac{10}{x - 3} - \frac{9}{x - 2} - \frac{5}{( x - 2 ) ^{2}}

= \int \frac{10}{x - 3} - \frac{9}{x - 2} - \frac{5}{( x - 2 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{10}{x - 3} d x - \int \frac{9}{x - 2} d x - \int \frac{5}{( x - 2 ) ^{2}} d x

\int \frac{10}{x - 3} d x = 10 ln ∣ x - 3 ∣

\int \frac{9}{x - 2} d x = 9 ln ∣ x - 2 ∣

\int \frac{5}{( x - 2 ) ^{2}} d x = - \frac{5}{x - 2}

= 10 ln ∣ x - 3 ∣ - 9 ln ∣ x - 2 ∣ - (- \frac{5}{x - 2})

簡素化

= 10 ln ∣ x - 3 ∣ - 9 ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{5}{x - 2}

定数を解答に追加する

= 10 ln ∣ x - 3 ∣ - 9 ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{5}{x - 2} + C