inverselaplace 9/(s(s+1)(s+9))

解

逆ラプラス

\frac{9}{s ( s + 1 ) ( s + 9 )}

H (t) - \frac{9}{8} e^{- t} + \frac{1}{8} e^{- 9 t}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{9}{s ( s + 1 ) ( s + 9 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{9}{s ( s + 1 ) ( s + 9 )} : \frac{1}{s} - \frac{9}{8 ( s + 1 )} + \frac{1}{8 ( s + 9 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{9}{8 ( s + 1 )} + \frac{1}{8 ( s + 9 )}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{9}{8 ( s + 1 )}} + L^{- 1} {\frac{1}{8 ( s + 9 )}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{9}{8 ( s + 1 )}} : \frac{9}{8} e^{- t}

L^{- 1} {\frac{1}{8 ( s + 9 )}} : \frac{1}{8} e^{- 9 t}

= H (t) - \frac{9}{8} e^{- t} + \frac{1}{8} e^{- 9 t}