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Popolare Trigonometria >

2sin(x)-4cos(x)=3,0<= x<= 2pi

Soluzione

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3, 0 \leq x \leq 2 π

Soluzione

x = - 2.76975 \dots + 2 π, x = 1.84246 \dots

Gradi

x = 201.30453 \dots^{\circ}, x = 105.56536 \dots^{\circ}

Fasi della soluzione

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3, 0 \leq x \leq 2 π

Aggiungi

4 cos (x)

ad entrambi i lati

2 sin (x) = 3 + 4 cos (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(2 sin (x))^{2} = (3 + 4 cos (x))^{2}

Sottrarre

(3 + 4 cos (x))^{2}

da entrambi i lati

4 sin^{2} (x) - 9 - 24 cos (x) - 16 cos^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Semplificare

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Espandi

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Semplifica

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 9 - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= - 16 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 9 + 4

Aggiungi elementi simili:

- 16 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 20 cos^{2} (x)

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 9 + 4

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 9 + 4 = - 5

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

= - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) - 5

- 5 - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 5 - 20 cos^{2} (x) - 24 cos (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0 : u = - \frac{6 + 11}{10}, u = - \frac{6 - 11}{10}

- 5 - 20 u^{2} - 24 u = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 20 u^{2} - 24 u - 5 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 20 u^{2} - 24 u - 5 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 20, b = - 24, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 ( - 20 ) ( - 5 )}{2 ( - 20 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 ( - 20 ) ( - 5 )}{2 ( - 20 )}

(- 24)^{2} - 4 (- 20) (- 5) = 411

(- 24)^{2} - 4 (- 20) (- 5)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 24)^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 5

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 24)^{2} = 2 4^{2}

= 2 4^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 20 \cdot 5 = 400

= 2 4^{2} - 400

2 4^{2} = 576

= 576 - 400

Sottrai i numeri:

576 - 400 = 176

= 176

Fattorizzazione prima di

176 : 2^{4} \cdot 11

176

176

diviso per

2176 = 88 \cdot 2

= 2 \cdot 88

88

diviso per

288 = 44 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 44

44

diviso per

244 = 22 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 22

22

diviso per

222 = 11 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11

2, 11

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11

= 2^{4} \cdot 11

= 2^{4} \cdot 11

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 11 2^{4}

Applicare la regola della radice:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 11

Affinare

= 411

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm 4 11}{2 ( - 20 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )}, u_{2} = \frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )}

u = \frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )} : - \frac{6 + 11}{10}

\frac{- ( - 24 ) + 4 11}{2 ( - 20 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{24 + 4 11}{- 2 \cdot 20}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{24 + 4 11}{- 40}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24 + 4 11}{40}

Cancellare

\frac{24 + 4 11}{40} : \frac{6 + 11}{10}

\frac{24 + 4 11}{40}

Fattorizza

24 + 411 : 4 (6 + 11)

24 + 411

Riscrivi come

= 4 \cdot 6 + 411

Fattorizzare dal termine comune

4

= 4 (6 + 11)

= \frac{4 ( 6 + 11 )}{40}

Cancella il fattore comune:

4

= \frac{6 + 11}{10}

= - \frac{6 + 11}{10}

u = \frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )} : - \frac{6 - 11}{10}

\frac{- ( - 24 ) - 4 11}{2 ( - 20 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{24 - 4 11}{- 2 \cdot 20}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{24 - 4 11}{- 40}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24 - 4 11}{40}

Cancellare

\frac{24 - 4 11}{40} : \frac{6 - 11}{10}

\frac{24 - 4 11}{40}

Fattorizza

24 - 411 : 4 (6 - 11)

24 - 411

Riscrivi come

= 4 \cdot 6 - 411

Fattorizzare dal termine comune

4

= 4 (6 - 11)

= \frac{4 ( 6 - 11 )}{40}

Cancella il fattore comune:

4

= \frac{6 - 11}{10}

= - \frac{6 - 11}{10}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - \frac{6 + 11}{10}, u = - \frac{6 - 11}{10}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π : x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}

Soluzioni generali per

cos (x) = - \frac{6 + 11}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x \leq 2 π

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π : x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}, 0 \leq x \leq 2 π

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

Soluzioni generali per

cos (x) = - \frac{6 - 11}{10}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x \leq 2 π

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Combinare tutte le soluzioni

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π, x = arccos (- \frac{6 - 11}{10}), x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

arccos (- \frac{6 + 11}{10}) :

Falso

arccos (- \frac{6 + 11}{10})

Inserire in

n = 1

arccos (- \frac{6 + 11}{10})

Per

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

inserisci la

x = arccos (- \frac{6 + 11}{10})

2 sin (arccos (- \frac{6 + 11}{10})) - 4 cos (arccos (- \frac{6 + 11}{10})) = 3

Affinare

4.45329 \dots = 3

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π :

Vero

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

Inserire in

n = 1

- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

Per

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

inserisci la

x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π

2 sin (- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π) - 4 cos (- arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π) = 3

Affinare

3 = 3

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

arccos (- \frac{6 - 11}{10}) :

Vero

arccos (- \frac{6 - 11}{10})

Inserire in

n = 1

arccos (- \frac{6 - 11}{10})

Per

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

inserisci la

x = arccos (- \frac{6 - 11}{10})

2 sin (arccos (- \frac{6 - 11}{10})) - 4 cos (arccos (- \frac{6 - 11}{10})) = 3

Affinare

3 = 3

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π :

Falso

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Inserire in

n = 1

- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

Per

2 sin (x) - 4 cos (x) = 3

inserisci la

x = - arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π

2 sin (- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π) - 4 cos (- arccos (- \frac{6 - 11}{10}) + 2 π) = 3

Affinare

- 0.85329 \dots = 3

\Rightarrow Falso

x = - arccos (- \frac{6 + 11}{10}) + 2 π, x = arccos (- \frac{6 - 11}{10})

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = - 2.76975 \dots + 2 π, x = 1.84246 \dots

Grafico

Esempi popolari

sec^2(θ)-6sec(θ)+8=0

sec^{2} (θ) - 6 sec (θ) + 8 = 0

sin^2(x)-cos^2(x)-sin(x)=0

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - sin (x) = 0

10tan(x)sin(x)=sin(x)

10 tan (x) sin (x) = sin (x)

cos(2x)=2sin(x)cos(x)

cos (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin(θ)= 5/6

sin (θ) = \frac{5}{6}