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4cos^2(x)+4cos(x)=1

Solución

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1

Solución

x = 1.36217 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.36217 \dots + 2 πn

Grados

x = 78.04714 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 281.95285 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1

Usando el método de sustitución

4 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 1

Sea:

cos (x) = u

4 u^{2} + 4 u = 1

4 u^{2} + 4 u = 1 : u = \frac{- 1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

4 u^{2} + 4 u = 1

Mover

1

al lado izquierdo

4 u^{2} + 4 u = 1

Restar

1

de ambos lados

4 u^{2} + 4 u - 1 = 1 - 1

Simplificar

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

4^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 42

4^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} + 16

4^{2} = 16

= 16 + 16

Sumar:

16 + 16 = 32

= 32

Descomposición en factores primos de

32 : 2^{5}

32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Simplificar

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 2}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 2}{2}

\frac{- 4 + 4 2}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 + 4 2}{8}

Factorizar

- 4 + 42 : 4 (- 1 + 2)

- 4 + 42

Reescribir como

= - 4 \cdot 1 + 42

Factorizar el termino común

4

= 4 (- 1 + 2)

= \frac{4 ( - 1 + 2 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{- 1 + 2}{2}

u = \frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 2}{2}

\frac{- 4 - 4 2}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 - 4 2}{8}

Factorizar

- 4 - 42 : - 4 (1 + 2)

- 4 - 42

Reescribir como

= - 4 \cdot 1 - 42

Factorizar el termino común

4

= - 4 (1 + 2)

= - \frac{4 ( 1 + 2 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= - \frac{1 + 2}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}, cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2} : x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{- 1 + 2}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 2}{2} :

Sin solución

cos (x) = - \frac{1 + 2}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 2}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.36217 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.36217 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

sin(x)= 1/6

sin (x) = \frac{1}{6}

tan(θ)= 2/5

tan (θ) = \frac{2}{5}

tan(x)+3cot(x)=4

tan (x) + 3 cot (x) = 4

cos(2x)[cos(2x)-3]=0

cos (2 x) [cos (2 x) - 3] = 0

cos^2(θ)= 1/4

cos^{2} (θ) = \frac{1}{4}