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csch(x)= 5/12

Solución

csch (x) = \frac{5}{12}

Solución

x = ln (5)

Grados

x = 92.21399 \dots^{\circ}

Pasos de solución

csch (x) = \frac{5}{12}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

csch (x) = \frac{5}{12}

Utilizar la identidad hiperbólica:

csch (x) = \frac{2}{e ^{x} - e ^{- x}}

\frac{2}{e ^{x} - e ^{- x}} = \frac{5}{12}

\frac{2}{e ^{x} - e ^{- x}} = \frac{5}{12}

\frac{2}{e ^{x} - e ^{- x}} = \frac{5}{12} : x = ln (5)

\frac{2}{e ^{x} - e ^{- x}} = \frac{5}{12}

Utilizar multiplicación cruzada (regla de tres): Si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

entonces

a \cdot d = b \cdot c

2 \cdot 12 = (e^{x} - e^{- x}) \cdot 5

Simplificar

24 = (e^{x} - e^{- x}) \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes

24 = (e^{x} - e^{- x}) \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

24 = (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) \cdot 5

24 = (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) \cdot 5

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

24 = (u - (u)^{- 1}) \cdot 5

Resolver

24 = (u - u^{- 1}) \cdot 5 : u = 5, u = - \frac{1}{5}

24 = (u - u^{- 1}) \cdot 5

Simplificar

24 = (u - \frac{1}{u}) \cdot 5

Simplificar

(u - \frac{1}{u}) \cdot 5 : 5 (u - \frac{1}{u})

(u - \frac{1}{u}) \cdot 5

Aplicar regla conmutativa:

(u - \frac{1}{u}) \cdot 5 = 5 (u - \frac{1}{u})

5 (u - \frac{1}{u})

24 = 5 (u - \frac{1}{u})

Desarrollar

5 (u - \frac{1}{u}) : 5 u - \frac{5}{u}

5 (u - \frac{1}{u})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = u, c = \frac{1}{u}

= 5 u - 5 \cdot \frac{1}{u}

5 \cdot \frac{1}{u} = \frac{5}{u}

5 \cdot \frac{1}{u}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{u}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{u}

= 5 u - \frac{5}{u}

24 = 5 u - \frac{5}{u}

Multiplicar ambos lados por

u

24 = 5 u - \frac{5}{u}

Multiplicar ambos lados por

u

24 u = 5 uu - \frac{5}{u} u

Simplificar

24 u = 5 uu - \frac{5}{u} u

Simplificar

5 uu : 5 u^{2}

5 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 5 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 5 u^{2}

Simplificar

- \frac{5}{u} u : - 5

- \frac{5}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{5 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= - 5

24 u = 5 u^{2} - 5

24 u = 5 u^{2} - 5

24 u = 5 u^{2} - 5

Resolver

24 u = 5 u^{2} - 5 : u = 5, u = - \frac{1}{5}

24 u = 5 u^{2} - 5

Intercambiar lados

5 u^{2} - 5 = 24 u

Mover

24 u

al lado izquierdo

5 u^{2} - 5 = 24 u

Restar

24 u

de ambos lados

5 u^{2} - 5 - 24 u = 24 u - 24 u

Simplificar

5 u^{2} - 5 - 24 u = 0

5 u^{2} - 5 - 24 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} - 24 u - 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

5 u^{2} - 24 u - 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 5, b = - 24, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 5 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 5 )}{2 \cdot 5}

(- 24)^{2} - 4 \cdot 5 (- 5) = 26

(- 24)^{2} - 4 \cdot 5 (- 5)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 24)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 24)^{2} = 2 4^{2}

= 2 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 5 \cdot 5 = 100

= 2 4^{2} + 100

2 4^{2} = 576

= 576 + 100

Sumar:

576 + 100 = 676

= 676

Descomponer el número en factores primos:

676 = 2 6^{2}

= 2 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2 6^{2} = 26

= 26

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm 26}{2 \cdot 5}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 24 ) + 26}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- ( - 24 ) - 26}{2 \cdot 5}

u = \frac{- ( - 24 ) + 26}{2 \cdot 5} : 5

\frac{- ( - 24 ) + 26}{2 \cdot 5}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{24 + 26}{2 \cdot 5}

Sumar:

24 + 26 = 50

= \frac{50}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{50}{10}

Dividir:

\frac{50}{10} = 5

= 5

u = \frac{- ( - 24 ) - 26}{2 \cdot 5} : - \frac{1}{5}

\frac{- ( - 24 ) - 26}{2 \cdot 5}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{24 - 26}{2 \cdot 5}

Restar:

24 - 26 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 2}{10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1}{5}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 5, u = - \frac{1}{5}

u = 5, u = - \frac{1}{5}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(u - u^{- 1}) 5

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 5, u = - \frac{1}{5}

u = 5, u = - \frac{1}{5}

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

e^{x} = 5 : x = ln (5)

e^{x} = 5

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = 5

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (5)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (5)

x = ln (5)

Resolver

e^{x} = - \frac{1}{5} :

Sin solución para

x \in R

e^{x} = - \frac{1}{5}

a^{f (x)}

no puede ser cero o negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

x = ln (5)

Verificar las soluciones:

x = ln (5)

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

\frac{2}{e ^{x} - e ^{- x}} = \frac{5}{12}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

x = ln (5) :

Verdadero

\frac{2}{e ^{l n (5)} - e ^{- l n (5)}} = \frac{5}{12}

\frac{2}{e ^{l n (5)} - e ^{- l n (5)}} = \frac{5}{12}

\frac{2}{e ^{l n (5)} - e ^{- l n (5)}}

e^{l n (5)} = 5

e^{l n (5)}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= 5

e^{- l n (5)} = 5^{- 1}

e^{- l n (5)}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (5)})^{- 1}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (5)} = 5

= 5^{- 1}

= \frac{2}{5 - 5 ^{- 1}}

Simplificar

\frac{2}{5 - 5 ^{- 1}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{2}{5 - \frac{1}{5}}

Simplificar

5 - \frac{1}{5}

en una fracción:

\frac{24}{5}

5 - \frac{1}{5}

Convertir a fracción:

5 = \frac{5 \cdot 5}{5}

= \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 \cdot 5 - 1}{5}

5 \cdot 5 - 1 = 24

5 \cdot 5 - 1

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 5 = 25

= 25 - 1

Restar:

25 - 1 = 24

= 24

= \frac{24}{5}

= \frac{2}{\frac{24}{5}}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 \cdot 5}{24}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10}{24}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{5}{12}

= \frac{5}{12}

\frac{5}{12} = \frac{5}{12}

Verdadero

La solución es

x = ln (5)

x = ln (5)

Ejemplos populares

2sin^2(x)+sin(x)=1,0<= x<= 2pi

2 sin^{2} (x) + sin (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

3csc^2(5x)=-4

3 csc^{2} (5 x) = - 4

sin(t)=-1/2

sin (t) = - \frac{1}{2}

3sec^2(x)=4

3 sec^{2} (x) = 4

cos^2(x)-2cos(x)-3=0

cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 3 = 0