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Popolare Trigonometria >

tan(θ)=(sqrt(2))/2 csc(θ)

Soluzione

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

Soluzione

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Gradi

θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

Sottrarre

\frac{2}{2} csc (θ)

da entrambi i lati

tan (θ) - \frac{csc ( θ )}{2} = 0

Semplifica

tan (θ) - \frac{csc ( θ )}{2} : \frac{2 tan ( θ ) - csc ( θ )}{2}

tan (θ) - \frac{csc ( θ )}{2}

Converti l'elemento in frazione:

tan (θ) = \frac{tan ( θ ) 2}{2}

= \frac{tan ( θ ) 2}{2} - \frac{csc ( θ )}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( θ ) 2 - csc ( θ )}{2}

\frac{2 tan ( θ ) - csc ( θ )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 tan (θ) - csc (θ) = 0

Esprimere con sen e cos

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} = 0

Semplifica

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} : \frac{2 sin ^{2} ( θ ) - cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )}

Moltiplicare

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) 2}{cos ( θ )}

= \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )}

Minimo Comune Multiplo di

cos (θ), sin (θ) : cos (θ) sin (θ)

cos (θ), sin (θ)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

cos (θ)

sin (θ)

= cos (θ) sin (θ)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

cos (θ) sin (θ)

Per

\frac{sin ( θ ) 2}{cos ( θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (θ)

\frac{sin ( θ ) 2}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) 2 sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Per

\frac{1}{sin ( θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (θ)

\frac{1}{sin ( θ )} = \frac{1 \cdot cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} - \frac{cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ^{2} ( θ ) - cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

\frac{2 sin ^{2} ( θ ) - cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0

Aggiungi

cos (θ)

ad entrambi i lati

2 sin^{2} (θ) = cos (θ)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(2 sin^{2} (θ))^{2} = cos^{2} (θ)

Sottrarre

cos^{2} (θ)

da entrambi i lati

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ) = 0

Fattorizza

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ) : (2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ))

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

Riscrivi

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

come

(2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

Applicare la regola della radice:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (θ) = (sin^{2} (θ))^{2}

= (2)^{2} (sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

Applica la regola degli esponenti:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} (sin^{2} (θ))^{2} = (2 sin^{2} (θ))^{2}

= (2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

= (2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ) = (2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ))

= (2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ))

(2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

2 sin^{2} (θ) + cos (θ) = 0 or 2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0

2 sin^{2} (θ) + cos (θ) = 0 : θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (θ) + cos (θ) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (θ) + sin^{2} (θ) 2

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2

cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Risolvi per sostituzione

cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Sia:

cos (θ) = u

u + (1 - u^{2}) 2 = 0

u + (1 - u^{2}) 2 = 0 : u = - \frac{2}{2}, u = 2

u + (1 - u^{2}) 2 = 0

Espandere

u + (1 - u^{2}) 2 : u + 2 - 2 u^{2}

u + (1 - u^{2}) 2

= u + 2 (1 - u^{2})

Espandi

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

= 1 \cdot 2 - 2 u^{2}

Moltiplicare:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= u + 2 - 2 u^{2}

u + 2 - 2 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u + 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 2 u^{2} + u + 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 2, b = 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) 2 = 3

1^{2} - 4 (- 2) 2

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 42 (- 2)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 1 + 422

422 = 8

422

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 4 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Aggiungi i numeri:

1 + 8 = 9

= 9

Fattorizzare il numero:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3}{- 2 2}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{- 2 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2 2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= - \frac{1}{2}

Razionalizzare

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )} : 2

\frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3}{- 2 2}

Sottrai i numeri:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{2 2}

Dividi i numeri:

\frac{4}{2} = 2

= \frac{2}{2}

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Applica la regola degli esponenti:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{1}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{1 - \frac{1}{2}}

= 2^{1 - \frac{1}{2}}

Sottrai i numeri:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= 2^{\frac{1}{2}}

Applicare la regola della radice:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= 2

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - \frac{2}{2}, u = 2

Sostituire indietro

u = cos (θ)

cos (θ) = - \frac{2}{2}, cos (θ) = 2

cos (θ) = - \frac{2}{2}, cos (θ) = 2

cos (θ) = - \frac{2}{2} : θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2}{2}

Soluzioni generali per

cos (θ) = - \frac{2}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = 2 :

Nessuna soluzione

cos (θ) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- cos (θ) + sin^{2} (θ) 2

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2

- cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Risolvi per sostituzione

- cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Sia:

cos (θ) = u

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0 : u = - 2, u = \frac{2}{2}

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0

Espandere

- u + (1 - u^{2}) 2 : - u + 2 - 2 u^{2}

- u + (1 - u^{2}) 2

= - u + 2 (1 - u^{2})

Espandi

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

= 1 \cdot 2 - 2 u^{2}

Moltiplicare:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= - u + 2 - 2 u^{2}

- u + 2 - 2 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 2, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) 2 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 2) 2

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 422

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

422 = 8

422

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 4 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Aggiungi i numeri:

1 + 8 = 9

= 9

Fattorizzare il numero:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 2}

Aggiungi i numeri:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2 2}

Dividi i numeri:

\frac{4}{2} = 2

= \frac{2}{2}

Applicare la regola della radice:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Applica la regola degli esponenti:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{1}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{1 - \frac{1}{2}}

= 2^{1 - \frac{1}{2}}

Sottrai i numeri:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= 2^{\frac{1}{2}}

Applicare la regola della radice:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )} : \frac{2}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 2}

Sottrai i numeri:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2 2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{2}

Razionalizzare

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - 2, u = \frac{2}{2}

Sostituire indietro

u = cos (θ)

cos (θ) = - 2, cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = - 2, cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = - 2 :

Nessuna soluzione

cos (θ) = - 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Nessuna soluzione

cos (θ) = \frac{2}{2} : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{2}

Soluzioni generali per

cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{3 π}{4} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{4} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{3 π}{4} + 2 π 1

Per

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

inserisci la

θ = \frac{3 π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{3 π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{3 π}{4} + 2 π 1)

Affinare

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{5 π}{4} + 2 πn :

Falso

\frac{5 π}{4} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{5 π}{4} + 2 π 1

Per

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

inserisci la

θ = \frac{5 π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{5 π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{5 π}{4} + 2 π 1)

Affinare

1 = - 1

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{π}{4} + 2 πn :

Vero

\frac{π}{4} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{4} + 2 π 1

Per

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

inserisci la

θ = \frac{π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{π}{4} + 2 π 1)

Affinare

1 = 1

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

\frac{7 π}{4} + 2 πn :

Vero

\frac{7 π}{4} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{7 π}{4} + 2 π 1

Per

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

inserisci la

θ = \frac{7 π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{7 π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{7 π}{4} + 2 π 1)

Affinare

- 1 = - 1

\Rightarrow Vero

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

2sin(x)cos(x)= 1/2

2 sin (x) cos (x) = \frac{1}{2}

tan(θ)=0.75

tan (θ) = 0.75

cos(6x)=1

cos (6 x) = 1

csc^2(θ)-2csc(θ)=0

csc^{2} (θ) - 2 csc (θ) = 0

cos(θ)=-7/25

cos (θ) = - \frac{7}{25}