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3sin(2x)-2cos(x)=0

Lösung

3 sin (2 x) - 2 cos (x) = 0

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.33983 \dots + 2 πn, x = π - 0.33983 \dots + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 19.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 160.52877 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (2 x) - 2 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 cos (x) + 3 sin (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= - 2 cos (x) + 3 \cdot 2 sin (x) cos (x)

Vereinfache

= - 2 cos (x) + 6 sin (x) cos (x)

- 2 cos (x) + 6 cos (x) sin (x) = 0

Faktorisiere

- 2 cos (x) + 6 cos (x) sin (x) : 2 cos (x) (3 sin (x) - 1)

- 2 cos (x) + 6 cos (x) sin (x)

Schreibe

6

um:

3 \cdot 2

= - 2 cos (x) + 3 \cdot 2 sin (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

2 cos (x)

= 2 cos (x) (- 1 + 3 sin (x))

2 cos (x) (3 sin (x) - 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) = 0 or 3 sin (x) - 1 = 0

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

3 sin (x) - 1 = 0 : x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

3 sin (x) - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 sin (x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

3 sin (x) = 1

3 sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

3

3 sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 sin ( x )}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

sin (x) = \frac{1}{3}

sin (x) = \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{3}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.33983 \dots + 2 πn, x = π - 0.33983 \dots + 2 πn

sec (x) tan (x) - cos (x) cot (x) = sin (x)

4 sin (x) = - cos^{2} (x) + 1

sin (2 x) = - 5 cos (2 x)

tan (x) cot (x) = sec (x) csc (x)

4 sin (x) = cos (x) - 2