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Beliebt Trigonometrie >

sin(θ)-sqrt(3)cos(θ)=sqrt(3)

Lösung

sin (θ) - 3 cos (θ) = 3

Lösung

θ = π + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (θ) - 3 cos (θ) = 3

Füge

3 cos (θ)

zu beiden Seiten hinzu

sin (θ) = 3 + 3 cos (θ)

Quadriere beide Seiten

sin^{2} (θ) = (3 + 3 cos (θ))^{2}

Subtrahiere

(3 + 3 cos (θ))^{2}

von beiden Seiten

sin^{2} (θ) - 3 - 6 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 3 + sin^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 3 + 1 - cos^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ)

Vereinfache

- 3 + 1 - cos^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) : - 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) - 2

- 3 + 1 - cos^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ)

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (θ) - 3 cos^{2} (θ) = - 4 cos^{2} (θ)

= - 3 + 1 - 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 1 = - 2

= - 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) - 2

= - 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) - 2

- 2 - 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 - 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 2 - 4 u^{2} - 6 u = 0

- 2 - 4 u^{2} - 6 u = 0 : u = - 1, u = - \frac{1}{2}

- 2 - 4 u^{2} - 6 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 6 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 6 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 6, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 2 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 2 )}{2 ( - 4 )}

(- 6)^{2} - 4 (- 4) (- 2) = 2

(- 6)^{2} - 4 (- 4) (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 6)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 6^{2} - 32

6^{2} = 36

= 36 - 32

Subtrahiere die Zahlen:

36 - 32 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 2}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 2}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 2}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 6 ) + 2}{2 ( - 4 )} : - 1

\frac{- ( - 6 ) + 2}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 + 2}{- 2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

6 + 2 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 6 ) - 2}{2 ( - 4 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 6 ) - 2}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 - 2}{- 2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

6 - 2 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - 1, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - 1, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = π + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

sin (θ) - 3 cos (θ) = 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

θ = π + 2 π 1

sin (θ) - 3 cos (θ) = 3

ein, um zu lösen

sin (π + 2 π 1) - 3 cos (π + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

sin (θ) - 3 cos (θ) = 3

ein, um zu lösen

sin (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) - 3 cos (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

sin (θ) - 3 cos (θ) = 3

ein, um zu lösen

sin (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) - 3 cos (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

0 = 1.73205 \dots

\Rightarrow Falsch

θ = π + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(a)=0.5

cos (a) = 0.5

2cos^2(θ)-3cos(θ)-2=0

2 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 2 = 0

-7sin^2(θ)+4sin(θ)=-3

- 7 sin^{2} (θ) + 4 sin (θ) = - 3

sqrt(3)=sqrt(3)cos(2x)+sin(2x)

3 = 3 cos (2 x) + sin (2 x)

csc(θ)=-(2sqrt(3))/3

csc (θ) = - \frac{2 3}{3}