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Beliebt Trigonometrie >

tan^2(θ)-4sec(θ)=-5

Lösung

tan^{2} (θ) - 4 sec (θ) = - 5

Lösung

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan^{2} (θ) - 4 sec (θ) = - 5

Subtrahiere

- 5

von beiden Seiten

tan^{2} (θ) - 4 sec (θ) + 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 + tan^{2} (θ) - 4 sec (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= 5 + sec^{2} (θ) - 1 - 4 sec (θ)

Vereinfache

5 + sec^{2} (θ) - 1 - 4 sec (θ) : sec^{2} (θ) - 4 sec (θ) + 4

5 + sec^{2} (θ) - 1 - 4 sec (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= sec^{2} (θ) - 4 sec (θ) + 5 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

5 - 1 = 4

= sec^{2} (θ) - 4 sec (θ) + 4

= sec^{2} (θ) - 4 sec (θ) + 4

4 + sec^{2} (θ) - 4 sec (θ) = 0

Löse mit Substitution

4 + sec^{2} (θ) - 4 sec (θ) = 0

Angenommen:

sec (θ) = u

4 + u^{2} - 4 u = 0

4 + u^{2} - 4 u = 0 : u = 2

4 + u^{2} - 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 4 u + 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 4 u + 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 4, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 1}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 4 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 1}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 1} = 2

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2

u = 2

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = 2

Setze in

u = sec (θ)

ein

sec (θ) = 2

sec (θ) = 2

sec (θ) = 2 : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (θ) = 2

Allgemeine Lösung für

sec (θ) = 2

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)= 5/6

tan (θ) = \frac{5}{6}

sin(3x)cos(2x)+cos(3x)sin(2x)=1

sin (3 x) cos (2 x) + cos (3 x) sin (2 x) = 1

tan^2(θ)+4tan(θ)=3

tan^{2} (θ) + 4 tan (θ) = 3

3cot(θ)+7=0

3 cot (θ) + 7 = 0

sin^2(x)-4sin(x)=0

sin^{2} (x) - 4 sin (x) = 0