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Beliebt Trigonometrie >

9cos^2(θ)-10cos(θ)-2=-7cos(θ)

Lösung

9 cos^{2} (θ) - 10 cos (θ) - 2 = - 7 cos (θ)

Lösung

θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 1.91063 \dots + 2 πn, θ = - 1.91063 \dots + 2 πn

Grad

θ = 48.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 311.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

9 cos^{2} (θ) - 10 cos (θ) - 2 = - 7 cos (θ)

Löse mit Substitution

9 cos^{2} (θ) - 10 cos (θ) - 2 = - 7 cos (θ)

Angenommen:

cos (θ) = u

9 u^{2} - 10 u - 2 = - 7 u

9 u^{2} - 10 u - 2 = - 7 u : u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3}

9 u^{2} - 10 u - 2 = - 7 u

Verschiebe

7 u

auf die linke Seite

9 u^{2} - 10 u - 2 = - 7 u

Füge

7 u

zu beiden Seiten hinzu

9 u^{2} - 10 u - 2 + 7 u = - 7 u + 7 u

Vereinfache

9 u^{2} - 3 u - 2 = 0

9 u^{2} - 3 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

9 u^{2} - 3 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 9, b = - 3, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 9 ( - 2 )}{2 \cdot 9}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 9 ( - 2 )}{2 \cdot 9}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 9 (- 2) = 9

(- 3)^{2} - 4 \cdot 9 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 9 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 9 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 9 \cdot 2 = 72

= 3^{2} + 72

3^{2} = 9

= 9 + 72

Addiere die Zahlen:

9 + 72 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 9}{2 \cdot 9}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 9}{2 \cdot 9}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 9}{2 \cdot 9}

u = \frac{- ( - 3 ) + 9}{2 \cdot 9} : \frac{2}{3}

\frac{- ( - 3 ) + 9}{2 \cdot 9}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 + 9}{2 \cdot 9}

Addiere die Zahlen:

3 + 9 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{12}{18}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{2}{3}

u = \frac{- ( - 3 ) - 9}{2 \cdot 9} : - \frac{1}{3}

\frac{- ( - 3 ) - 9}{2 \cdot 9}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 - 9}{2 \cdot 9}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 9 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{- 6}{18}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{18}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= - \frac{1}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2}{3}, u = - \frac{1}{3}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{2}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{3}

cos (θ) = \frac{2}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{3}

cos (θ) = \frac{2}{3} : θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{2}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{3} : θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.84106 \dots + 2 πn, θ = 1.91063 \dots + 2 πn, θ = - 1.91063 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(4x)+1=0

cos (4 x) + 1 = 0

sin(x)=-sqrt(2)

sin (x) = - 2

4sec(θ)-5=0

4 sec (θ) - 5 = 0

3sin(x)+5cos(x)=0

3 sin (x) + 5 cos (x) = 0

sec(3x)=-2

sec (3 x) = - 2