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Beliebt Trigonometrie >

5sin^2(θ)-4cos(θ)-9=-cos(θ)-6

Lösung

5 sin^{2} (θ) - 4 cos (θ) - 9 = - cos (θ) - 6

Lösung

θ = π + 2 πn, θ = 1.15927 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.15927 \dots + 2 πn

Grad

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 66.42182 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 293.57817 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sin^{2} (θ) - 4 cos (θ) - 9 = - cos (θ) - 6

Subtrahiere

- cos (θ) - 6

von beiden Seiten

5 sin^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 3 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 3 - 3 cos (θ) + 5 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 3 - 3 cos (θ) + 5 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

- 3 - 3 cos (θ) + 5 (1 - cos^{2} (θ)) : - 5 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) + 2

- 3 - 3 cos (θ) + 5 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

5 (1 - cos^{2} (θ)) : 5 - 5 cos^{2} (θ)

5 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 5 \cdot 1 - 5 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 5 - 5 cos^{2} (θ)

= - 3 - 3 cos (θ) + 5 - 5 cos^{2} (θ)

Vereinfache

- 3 - 3 cos (θ) + 5 - 5 cos^{2} (θ) : - 5 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) + 2

- 3 - 3 cos (θ) + 5 - 5 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 3 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ) - 3 + 5

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 5 = 2

= - 5 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) + 2

= - 5 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) + 2

= - 5 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) + 2

2 - 3 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 - 3 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

2 - 3 u - 5 u^{2} = 0

2 - 3 u - 5 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{2}{5}

2 - 3 u - 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 5 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 5, b = - 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 2}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 2}{2 ( - 5 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 5) \cdot 2 = 7

(- 3)^{2} - 4 (- 5) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 2 = 40

= 3^{2} + 40

3^{2} = 9

= 9 + 40

Addiere die Zahlen:

9 + 40 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 7}{2 ( - 5 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 7}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 7}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 7}{2 ( - 5 )} : - 1

\frac{- ( - 3 ) + 7}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 7}{- 2 \cdot 5}

Addiere die Zahlen:

3 + 7 = 10

= \frac{10}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{10}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 3 ) - 7}{2 ( - 5 )} : \frac{2}{5}

\frac{- ( - 3 ) - 7}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 7}{- 2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 7 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 4}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{2}{5}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - 1, cos (θ) = \frac{2}{5}

cos (θ) = - 1, cos (θ) = \frac{2}{5}

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{5} : θ = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{2}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{2}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = π + 2 πn, θ = arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = π + 2 πn, θ = 1.15927 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.15927 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

12sin^2(θ)-6sin(θ)=5

12 sin^{2} (θ) - 6 sin (θ) = 5

cos^3(x)-sin^2(x)=0

cos^{3} (x) - sin^{2} (x) = 0

cos(c)=0.87

cos (c) = 0.87

8sin^2(x)-2sin(x)-1=0

8 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 = 0

sin(1/4 x)=0

sin (\frac{1}{4} x) = 0