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Beliebt Trigonometrie >

4cos(2θ)+16cos(θ)+4=9cos(θ)

Lösung

4 cos (2 θ) + 16 cos (θ) + 4 = 9 cos (θ)

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2.63623 \dots + 2 πn, θ = - 2.63623 \dots + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 151.04497 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 151.04497 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (2 θ) + 16 cos (θ) + 4 = 9 cos (θ)

Subtrahiere

9 cos (θ)

von beiden Seiten

4 cos (2 θ) + 7 cos (θ) + 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

4 + 4 cos (2 θ) + 7 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 4 + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 7 cos (θ)

Vereinfache

4 + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 7 cos (θ) : 8 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ)

4 + 4 (2 cos^{2} (θ) - 1) + 7 cos (θ)

Multipliziere aus

4 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 8 cos^{2} (θ) - 4

4 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Vereinfache

4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1 : 8 cos^{2} (θ) - 4

4 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= 8 cos^{2} (θ) - 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 8 cos^{2} (θ) - 4

= 8 cos^{2} (θ) - 4

= 4 + 8 cos^{2} (θ) - 4 + 7 cos (θ)

Vereinfache

4 + 8 cos^{2} (θ) - 4 + 7 cos (θ) : 8 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ)

4 + 8 cos^{2} (θ) - 4 + 7 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 8 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ) + 4 - 4

4 - 4 = 0

= 8 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ)

= 8 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ)

= 8 cos^{2} (θ) + 7 cos (θ)

7 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

7 cos (θ) + 8 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

7 u + 8 u^{2} = 0

7 u + 8 u^{2} = 0 : u = 0, u = - \frac{7}{8}

7 u + 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} + 7 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

8 u^{2} + 7 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 8, b = 7, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 0}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 0}{2 \cdot 8}

7^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 0 = 7

7^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 7^{2} - 0

7^{2} - 0 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 7 \pm 7}{2 \cdot 8}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 7 + 7}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 7 - 7}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 7 + 7}{2 \cdot 8} : 0

\frac{- 7 + 7}{2 \cdot 8}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 7 + 7 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{0}{16}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = \frac{- 7 - 7}{2 \cdot 8} : - \frac{7}{8}

\frac{- 7 - 7}{2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

- 7 - 7 = - 14

= \frac{- 14}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 14}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{14}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{7}{8}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = - \frac{7}{8}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 0, cos (θ) = - \frac{7}{8}

cos (θ) = 0, cos (θ) = - \frac{7}{8}

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{7}{8} : θ = arccos (- \frac{7}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{7}{8}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{7}{8}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{7}{8}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{7}{8}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{7}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{7}{8}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{7}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{7}{8}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arccos (- \frac{7}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{7}{8}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2.63623 \dots + 2 πn, θ = - 2.63623 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(θ)=(7pi)/3

sin (θ) = \frac{7 π}{3}

tan(x)*cos^2(x)-tan(x)=0

tan (x) \cdot cos^{2} (x) - tan (x) = 0

sin(x+pi)-sin(x)+sqrt(2)=0

sin (x + π) - sin (x) + 2 = 0

3tan(x)=-3

3 tan (x) = - 3

2(sin(x))^2-5cos(x)+1=0

2 (sin (x))^{2} - 5 cos (x) + 1 = 0