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Beliebt Trigonometrie >

2cos^2(2θ)+sin(2θ)=1

Lösung

2 cos^{2} (2 θ) + sin (2 θ) = 1

Lösung

θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

Grad

θ = 10 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 16 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos^{2} (2 θ) + sin (2 θ) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 cos^{2} (2 θ) + sin (2 θ) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + sin (2 θ) + 2 cos^{2} (2 θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 + sin (2 θ) + 2 (1 - sin^{2} (2 θ))

Vereinfache

- 1 + sin (2 θ) + 2 (1 - sin^{2} (2 θ)) : sin (2 θ) - 2 sin^{2} (2 θ) + 1

- 1 + sin (2 θ) + 2 (1 - sin^{2} (2 θ))

Multipliziere aus

2 (1 - sin^{2} (2 θ)) : 2 - 2 sin^{2} (2 θ)

2 (1 - sin^{2} (2 θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (2 θ)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (2 θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (2 θ)

= - 1 + sin (2 θ) + 2 - 2 sin^{2} (2 θ)

Vereinfache

- 1 + sin (2 θ) + 2 - 2 sin^{2} (2 θ) : sin (2 θ) - 2 sin^{2} (2 θ) + 1

- 1 + sin (2 θ) + 2 - 2 sin^{2} (2 θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= sin (2 θ) - 2 sin^{2} (2 θ) - 1 + 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 2 = 1

= sin (2 θ) - 2 sin^{2} (2 θ) + 1

= sin (2 θ) - 2 sin^{2} (2 θ) + 1

= sin (2 θ) - 2 sin^{2} (2 θ) + 1

1 + sin (2 θ) - 2 sin^{2} (2 θ) = 0

Löse mit Substitution

1 + sin (2 θ) - 2 sin^{2} (2 θ) = 0

Angenommen:

sin (2 θ) = u

1 + u - 2 u^{2} = 0

1 + u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

1 + u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} + u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 3

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 2) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3}{- 2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Setze in

u = sin (2 θ)

ein

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}, sin (2 θ) = 1

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}, sin (2 θ) = 1

sin (2 θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, 2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, 2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Löse

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn : θ = \frac{7 π}{12} + πn

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{7 π}{12} + πn

\frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{7 π}{6}}{2} = \frac{7 π}{12}

\frac{\frac{7 π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7 π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{7 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{7 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn

Löse

2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn : θ = \frac{11 π}{12} + πn

2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{11 π}{12} + πn

\frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{11 π}{6}}{2} = \frac{11 π}{12}

\frac{\frac{11 π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{11 π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{11 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn

sin (2 θ) = 1 : θ = \frac{π}{4} + πn

sin (2 θ) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (2 θ) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Löse

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn : θ = \frac{π}{4} + πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn, θ = \frac{π}{4} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

8tan(θ)-sqrt(54)=0

8 tan (θ) - 54 = 0

3sin^2(x)-3=0

3 sin^{2} (x) - 3 = 0

tan(2x+pi/3)=sqrt(3)

tan (2 x + \frac{π}{3}) = 3

tan(θ)=-8

tan (θ) = - 8

2cos(2θ)+7sin(θ)-2=-2

2 cos (2 θ) + 7 sin (θ) - 2 = - 2