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Beliebt Trigonometrie >

-9sin^2(θ)+4=5cos(θ)-1

Lösung

- 9 sin^{2} (θ) + 4 = 5 cos (θ) - 1

Lösung

θ = 2 πn, θ = 2.03135 \dots + 2 πn, θ = - 2.03135 \dots + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 116.38779 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 116.38779 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 9 sin^{2} (θ) + 4 = 5 cos (θ) - 1

Subtrahiere

5 cos (θ) - 1

von beiden Seiten

- 9 sin^{2} (θ) - 5 cos (θ) + 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 - 5 cos (θ) - 9 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 5 - 5 cos (θ) - 9 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

5 - 5 cos (θ) - 9 (1 - cos^{2} (θ)) : 9 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 4

5 - 5 cos (θ) - 9 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 9 (1 - cos^{2} (θ)) : - 9 + 9 cos^{2} (θ)

- 9 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 cos^{2} (θ)

= 5 - 5 cos (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ)

Vereinfache

5 - 5 cos (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ) : 9 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 4

5 - 5 cos (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 5 cos (θ) + 9 cos^{2} (θ) + 5 - 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

5 - 9 = - 4

= 9 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 4

= 9 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 4

= 9 cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 4

- 4 - 5 cos (θ) + 9 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 4 - 5 cos (θ) + 9 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 4 - 5 u + 9 u^{2} = 0

- 4 - 5 u + 9 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{4}{9}

- 4 - 5 u + 9 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

9 u^{2} - 5 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

9 u^{2} - 5 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 9, b = - 5, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 9 ( - 4 )}{2 \cdot 9}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 9 ( - 4 )}{2 \cdot 9}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 9 (- 4) = 13

(- 5)^{2} - 4 \cdot 9 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 9 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 9 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 9 \cdot 4 = 144

= 5^{2} + 144

5^{2} = 25

= 25 + 144

Addiere die Zahlen:

25 + 144 = 169

= 169

Faktorisiere die Zahl:

169 = 1 3^{2}

= 1 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 3^{2} = 13

= 13

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 13}{2 \cdot 9}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 13}{2 \cdot 9}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 13}{2 \cdot 9}

u = \frac{- ( - 5 ) + 13}{2 \cdot 9} : 1

\frac{- ( - 5 ) + 13}{2 \cdot 9}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 + 13}{2 \cdot 9}

Addiere die Zahlen:

5 + 13 = 18

= \frac{18}{2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{18}{18}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 5 ) - 13}{2 \cdot 9} : - \frac{4}{9}

\frac{- ( - 5 ) - 13}{2 \cdot 9}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 - 13}{2 \cdot 9}

Subtrahiere die Zahlen:

5 - 13 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{- 8}{18}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{18}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{4}{9}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{4}{9}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 1, cos (θ) = - \frac{4}{9}

cos (θ) = 1, cos (θ) = - \frac{4}{9}

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

cos (θ) = - \frac{4}{9} : θ = arccos (- \frac{4}{9}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{4}{9}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{4}{9}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{4}{9}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{4}{9}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{4}{9}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{4}{9}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{4}{9}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{4}{9}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = arccos (- \frac{4}{9}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{4}{9}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2 πn, θ = 2.03135 \dots + 2 πn, θ = - 2.03135 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)=1.25

tan (θ) = 1.25

6sec(θ)+6=0

6 sec (θ) + 6 = 0

2sin(θ)-2=0

2 sin (θ) - 2 = 0

-3sin(θ)+3=2cos^2(θ)

- 3 sin (θ) + 3 = 2 cos^{2} (θ)

2sin(x-pi/2)+1=0

2 sin (x - \frac{π}{2}) + 1 = 0