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tanh(x)= 3/5

Solución

tanh (x) = \frac{3}{5}

Solución

x = ln (2)

Grados

x = 39.71440 \dots^{\circ}

Pasos de solución

tanh (x) = \frac{3}{5}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

tanh (x) = \frac{3}{5}

Utilizar la identidad hiperbólica:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{3}{5}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{3}{5}

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{3}{5} : x = ln (2)

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{3}{5}

Utilizar multiplicación cruzada (regla de tres): Si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

entonces

a \cdot d = b \cdot c

(e^{x} - e^{- x}) \cdot 5 = (e^{x} + e^{- x}) \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes

(e^{x} - e^{- x}) \cdot 5 = (e^{x} + e^{- x}) \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x} - (e^{x})^{- 1}) \cdot 5 = (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) \cdot 3

(e^{x} - (e^{x})^{- 1}) \cdot 5 = (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) \cdot 3

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

(u - (u)^{- 1}) \cdot 5 = (u + (u)^{- 1}) \cdot 3

Resolver

(u - u^{- 1}) \cdot 5 = (u + u^{- 1}) \cdot 3 : u = 2, u = - 2

(u - u^{- 1}) \cdot 5 = (u + u^{- 1}) \cdot 3

Simplificar

(u - \frac{1}{u}) \cdot 5 = (u + \frac{1}{u}) \cdot 3

Simplificar

(u - \frac{1}{u}) \cdot 5 = (u + \frac{1}{u}) \cdot 3

Simplificar

(u - \frac{1}{u}) \cdot 5 : 5 (u - \frac{1}{u})

(u - \frac{1}{u}) \cdot 5

Aplicar regla conmutativa:

(u - \frac{1}{u}) \cdot 5 = 5 (u - \frac{1}{u})

5 (u - \frac{1}{u})

Simplificar

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 : 3 (u + \frac{1}{u})

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3

Aplicar regla conmutativa:

(u + \frac{1}{u}) \cdot 3 = 3 (u + \frac{1}{u})

3 (u + \frac{1}{u})

5 (u - \frac{1}{u}) = 3 (u + \frac{1}{u})

5 (u - \frac{1}{u}) = 3 (u + \frac{1}{u})

Desarrollar

5 (u - \frac{1}{u}) : 5 u - \frac{5}{u}

5 (u - \frac{1}{u})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = u, c = \frac{1}{u}

= 5 u - 5 \cdot \frac{1}{u}

5 \cdot \frac{1}{u} = \frac{5}{u}

5 \cdot \frac{1}{u}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{u}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{u}

= 5 u - \frac{5}{u}

Desarrollar

3 (u + \frac{1}{u}) : 3 u + \frac{3}{u}

3 (u + \frac{1}{u})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = u, c = \frac{1}{u}

= 3 u + 3 \cdot \frac{1}{u}

3 \cdot \frac{1}{u} = \frac{3}{u}

3 \cdot \frac{1}{u}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{u}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{u}

= 3 u + \frac{3}{u}

5 u - \frac{5}{u} = 3 u + \frac{3}{u}

Multiplicar ambos lados por

u

5 u - \frac{5}{u} = 3 u + \frac{3}{u}

Multiplicar ambos lados por

u

5 uu - \frac{5}{u} u = 3 uu + \frac{3}{u} u

Simplificar

5 uu - \frac{5}{u} u = 3 uu + \frac{3}{u} u

Simplificar

5 uu : 5 u^{2}

5 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 5 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 5 u^{2}

Simplificar

- \frac{5}{u} u : - 5

- \frac{5}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{5 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= - 5

Simplificar

3 uu : 3 u^{2}

3 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 3 u^{2}

Simplificar

\frac{3}{u} u : 3

\frac{3}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 3

5 u^{2} - 5 = 3 u^{2} + 3

5 u^{2} - 5 = 3 u^{2} + 3

5 u^{2} - 5 = 3 u^{2} + 3

Resolver

5 u^{2} - 5 = 3 u^{2} + 3 : u = 2, u = - 2

5 u^{2} - 5 = 3 u^{2} + 3

Mover

5

al lado derecho

5 u^{2} - 5 = 3 u^{2} + 3

Sumar

5

a ambos lados

5 u^{2} - 5 + 5 = 3 u^{2} + 3 + 5

Simplificar

5 u^{2} = 3 u^{2} + 8

5 u^{2} = 3 u^{2} + 8

Mover

3 u^{2}

al lado izquierdo

5 u^{2} = 3 u^{2} + 8

Restar

3 u^{2}

de ambos lados

5 u^{2} - 3 u^{2} = 3 u^{2} + 8 - 3 u^{2}

Simplificar

2 u^{2} = 8

2 u^{2} = 8

Dividir ambos lados entre

2

2 u^{2} = 8

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u ^{2}}{2} = \frac{8}{2}

Simplificar

u^{2} = 4

u^{2} = 4

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 4, u = - 4

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

- 4 = - 2

- 4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= - 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = - 2

= - 2

u = 2, u = - 2

u = 2, u = - 2

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(u - u^{- 1}) 5

y comparar con cero

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(u + u^{- 1}) 3

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 2, u = - 2

u = 2, u = - 2

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

e^{x} = 2 : x = ln (2)

e^{x} = 2

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = 2

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2)

x = ln (2)

Resolver

e^{x} = - 2 :

Sin solución para

x \in R

e^{x} = - 2

a^{f (x)}

no puede ser cero o negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

x = ln (2)

Verificar las soluciones:

x = ln (2)

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{3}{5}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

x = ln (2) :

Verdadero

\frac{e ^{l n (2)} - e ^{- l n (2)}}{e ^{l n (2)} + e ^{- l n (2)}} = \frac{3}{5}

\frac{e ^{l n (2)} - e ^{- l n (2)}}{e ^{l n (2)} + e ^{- l n (2)}} = \frac{3}{5}

\frac{e ^{l n (2)} - e ^{- l n (2)}}{e ^{l n (2)} + e ^{- l n (2)}}

e^{l n (2)} = 2

e^{l n (2)}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= 2

e^{- l n (2)} = 2^{- 1}

e^{- l n (2)}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (2)})^{- 1}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (2)} = 2

= 2^{- 1}

= \frac{e ^{l n (2)} - e ^{- l n (2)}}{2 + 2 ^{- 1}}

e^{l n (2)} = 2

e^{l n (2)}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= 2

e^{- l n (2)} = 2^{- 1}

e^{- l n (2)}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (2)})^{- 1}

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (2)} = 2

= 2^{- 1}

= \frac{2 - 2 ^{- 1}}{2 + 2 ^{- 1}}

Simplificar

\frac{2 - 2 ^{- 1}}{2 + 2 ^{- 1}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

2^{- 1} = \frac{1}{2}

= \frac{2 - 2 ^{- 1}}{2 + \frac{1}{2}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

2^{- 1} = \frac{1}{2}

= \frac{2 - \frac{1}{2}}{2 + \frac{1}{2}}

Simplificar

2 + \frac{1}{2}

en una fracción:

\frac{5}{2}

2 + \frac{1}{2}

Convertir a fracción:

2 = \frac{2 \cdot 2}{2}

= \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}

2 \cdot 2 + 1 = 5

2 \cdot 2 + 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 + 1

Sumar:

4 + 1 = 5

= 5

= \frac{5}{2}

= \frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{5}{2}}

Simplificar

2 - \frac{1}{2}

en una fracción:

\frac{3}{2}

2 - \frac{1}{2}

Convertir a fracción:

2 = \frac{2 \cdot 2}{2}

= \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}

2 \cdot 2 - 1 = 3

2 \cdot 2 - 1

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 - 1

Restar:

4 - 1 = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}

Dividir fracciones:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 5}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3}{5}

= \frac{3}{5}

\frac{3}{5} = \frac{3}{5}

Verdadero

La solución es

x = ln (2)

x = ln (2)

Gráfica

Ejemplos populares

csc(θ)+2.402=0

csc (θ) + 2.402 = 0

tan^2(β)=1

tan^{2} (β) = 1

6sin(C)+sqrt(8)=0

6 sin (C) + 8 = 0

cos(2t)=-sin(t)

cos (2 t) = - sin (t)

sin^2(x)-5cos(x)-5=0

sin^{2} (x) - 5 cos (x) - 5 = 0