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Popular Trigonometría >

8sin(x)=cos(x)-3

Solución

8 sin (x) = cos (x) - 3

Solución

x = - 2.63596 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.25691 \dots + 2 πn

Grados

x = - 151.02953 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 345.27956 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

8 sin (x) = cos (x) - 3

Elevar al cuadrado ambos lados

(8 sin (x))^{2} = (cos (x) - 3)^{2}

Restar

(cos (x) - 3)^{2}

de ambos lados

64 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) + 6 cos (x) - 9 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 9 - cos^{2} (x) + 64 sin^{2} (x) + 6 cos (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - cos^{2} (x) + 64 (1 - cos^{2} (x)) + 6 cos (x)

Simplificar

- 9 - cos^{2} (x) + 64 (1 - cos^{2} (x)) + 6 cos (x) : 6 cos (x) - 65 cos^{2} (x) + 55

- 9 - cos^{2} (x) + 64 (1 - cos^{2} (x)) + 6 cos (x)

Expandir

64 (1 - cos^{2} (x)) : 64 - 64 cos^{2} (x)

64 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

64 \cdot 1 = 64

= 64 - 64 cos^{2} (x)

= - 9 - cos^{2} (x) + 64 - 64 cos^{2} (x) + 6 cos (x)

Simplificar

- 9 - cos^{2} (x) + 64 - 64 cos^{2} (x) + 6 cos (x) : 6 cos (x) - 65 cos^{2} (x) + 55

- 9 - cos^{2} (x) + 64 - 64 cos^{2} (x) + 6 cos (x)

Agrupar términos semejantes

= - cos^{2} (x) - 64 cos^{2} (x) + 6 cos (x) - 9 + 64

Sumar elementos similares:

- cos^{2} (x) - 64 cos^{2} (x) = - 65 cos^{2} (x)

= - 65 cos^{2} (x) + 6 cos (x) - 9 + 64

Sumar/restar lo siguiente:

- 9 + 64 = 55

= 6 cos (x) - 65 cos^{2} (x) + 55

= 6 cos (x) - 65 cos^{2} (x) + 55

= 6 cos (x) - 65 cos^{2} (x) + 55

55 - 65 cos^{2} (x) + 6 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

55 - 65 cos^{2} (x) + 6 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

55 - 65 u^{2} + 6 u = 0

55 - 65 u^{2} + 6 u = 0 : u = - \frac{- 3 + 16 14}{65}, u = \frac{3 + 16 14}{65}

55 - 65 u^{2} + 6 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 65 u^{2} + 6 u + 55 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 65 u^{2} + 6 u + 55 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 65, b = 6, c = 55

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 65 ) \cdot 55}{2 ( - 65 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 65 ) \cdot 55}{2 ( - 65 )}

6^{2} - 4 (- 65) \cdot 55 = 3214

6^{2} - 4 (- 65) \cdot 55

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 65 \cdot 55

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 65 \cdot 55 = 14300

= 6^{2} + 14300

6^{2} = 36

= 36 + 14300

Sumar:

36 + 14300 = 14336

= 14336

Descomposición en factores primos de

14336 : 2^{11} \cdot 7

14336

14336

divida por

214336 = 7168 \cdot 2

= 2 \cdot 7168

7168

divida por

27168 = 3584 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3584

3584

divida por

23584 = 1792 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1792

1792

divida por

21792 = 896 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 896

896

divida por

2896 = 448 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 448

448

divida por

2448 = 224 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 224

224

divida por

2224 = 112 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 112

112

divida por

2112 = 56 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 56

56

divida por

256 = 28 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 28

28

divida por

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14

14

divida por

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{11} \cdot 7

= 2^{11} \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{10} \cdot 2 \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

n ab = n a n b

= 2^{10} 2 \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{10} = 2^{\frac{10}{2}} = 2^{5}

= 2^{5} 2 \cdot 7

Simplificar

= 3214

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 32 14}{2 ( - 65 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 6 + 32 14}{2 ( - 65 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 32 14}{2 ( - 65 )}

u = \frac{- 6 + 32 14}{2 ( - 65 )} : - \frac{- 3 + 16 14}{65}

\frac{- 6 + 32 14}{2 ( - 65 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 32 14}{- 2 \cdot 65}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 65 = 130

= \frac{- 6 + 32 14}{- 130}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 6 + 32 14}{130}

Cancelar

\frac{- 6 + 32 14}{130} : \frac{16 14 - 3}{65}

\frac{- 6 + 32 14}{130}

Factorizar

- 6 + 3214 : 2 (- 3 + 1614)

- 6 + 3214

Reescribir como

= - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1614

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 3 + 1614)

= \frac{2 ( - 3 + 16 14 )}{130}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 3 + 16 14}{65}

= - \frac{16 14 - 3}{65}

= - \frac{- 3 + 16 14}{65}

u = \frac{- 6 - 32 14}{2 ( - 65 )} : \frac{3 + 16 14}{65}

\frac{- 6 - 32 14}{2 ( - 65 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 32 14}{- 2 \cdot 65}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 65 = 130

= \frac{- 6 - 32 14}{- 130}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 6 - 3214 = - (6 + 3214)

= \frac{6 + 32 14}{130}

Factorizar

6 + 3214 : 2 (3 + 1614)

6 + 3214

Reescribir como

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1614

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 + 1614)

= \frac{2 ( 3 + 16 14 )}{130}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3 + 16 14}{65}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{- 3 + 16 14}{65}, u = \frac{3 + 16 14}{65}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 3 + 16 14}{65}, cos (x) = \frac{3 + 16 14}{65}

cos (x) = - \frac{- 3 + 16 14}{65}, cos (x) = \frac{3 + 16 14}{65}

cos (x) = - \frac{- 3 + 16 14}{65} : x = arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 3 + 16 14}{65}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{- 3 + 16 14}{65}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{- 3 + 16 14}{65}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 + 16 14}{65} : x = arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 + 16 14}{65}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{3 + 16 14}{65}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{3 + 16 14}{65}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn, x = arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

8 sin (x) = cos (x) - 3

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 π 1

Multiplicar

8 sin (x) = cos (x) - 3

por

x = arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 π 1

8 sin (arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 π 1) = cos (arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 π 1) - 3

Simplificar

3.87486 \dots = - 3.87486 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

- arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn :

Verdadero

- arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 π 1

Multiplicar

8 sin (x) = cos (x) - 3

por

x = - arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 π 1

8 sin (- arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 π 1) = cos (- arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 π 1) - 3

Simplificar

- 3.87486 \dots = - 3.87486 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn :

Falso

arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 π 1

Multiplicar

8 sin (x) = cos (x) - 3

por

x = arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 π 1

8 sin (arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 π 1) = cos (arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 π 1) - 3

Simplificar

2.03282 \dots = - 2.03282 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn :

Verdadero

2 π - arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 π 1

Multiplicar

8 sin (x) = cos (x) - 3

por

x = 2 π - arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 π 1

8 sin (2 π - arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 π 1) = cos (2 π - arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 π 1) - 3

Simplificar

- 2.03282 \dots = - 2.03282 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = - arccos (- \frac{- 3 + 16 14}{65}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 + 16 14}{65}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 2.63596 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.25691 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

cos(2x)-sin^2(x)=1

cos (2 x) - sin^{2} (x) = 1

tan(a)=2

tan (a) = 2

sin(4x)cos(x)=cos(4x)sin(x)

sin (4 x) cos (x) = cos (4 x) sin (x)

cos(θ)-sqrt(cos(θ))=0

cos (θ) - cos (θ) = 0

2sin^2(x)=(csc^2(x))/2

2 sin^{2} (x) = \frac{csc ^{2} ( x )}{2}