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tan(x)csc(x)=2

Lösung

tan (x) csc (x) = 2

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan (x) csc (x) = 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

tan (x) csc (x) - 2 = 0

Drücke mit sin, cos aus

- 2 + csc (x) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 2 + \frac{1}{sin ( x )} tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 2 + \frac{1}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

- 2 + \frac{1}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- 2 cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

- 2 + \frac{1}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{1}{cos ( x )}

= - 2 + \frac{1}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{- 2 cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

\frac{1 - 2 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - 2 cos (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 2 cos (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 2 cos (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- 2 cos (x) = - 1

- 2 cos (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

- 2 cos (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

\frac{- 2 cos ( x )}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Vereinfache

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos^{2} (2 x) - 1 = 0

4 = 3 - cot (x) - csc (x)

7 sin (x) tan (x) = 3 tan (x)

sin (2 x) + cos (3 x) = 0

2 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x \leq 2 π