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Popular >

2sinh(2x)-10sinh(x)=0

Solución

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

Solución

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

Grados

x = 0^{\circ}, x = 89.77098 \dots^{\circ}, x = - 89.77098 \dots^{\circ}

Pasos de solución

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

Utilizar la identidad hiperbólica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 : x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

Sumar

10 \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

a ambos lados

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 + 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

Simplificar

e^{2 x} - e^{- 2 x} = 5 (e^{x} - e^{- x})

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{2 x} - e^{- 2 x} = 5 (e^{x} - e^{- x})

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}, e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2} = 5 (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

(e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2} = 5 (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

(u)^{2} - (u)^{- 2} = 5 (u - (u)^{- 1})

Resolver

u^{2} - u^{- 2} = 5 (u - u^{- 1}) : u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{2} - u^{- 2} = 5 (u - u^{- 1})

Simplificar

u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} = 5 (u - \frac{1}{u})

Multiplicar ambos lados por

u^{2}

u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} = 5 (u - \frac{1}{u})

Multiplicar ambos lados por

u^{2}

u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

Simplificar

u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

Simplificar

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Sumar:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Simplificar

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2} : - 1

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

u^{2}

= - 1

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

Desarrollar

5 (u - \frac{1}{u}) u^{2} : 5 u^{3} - 5 u

5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

= 5 u^{2} (u - \frac{1}{u})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 5 u^{2}, b = u, c = \frac{1}{u}

= 5 u^{2} u - 5 u^{2} \frac{1}{u}

= 5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Simplificar

5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2} : 5 u^{3} - 5 u

5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

5 u^{2} u = 5 u^{3}

5 u^{2} u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 5 u^{2 + 1}

Sumar:

2 + 1 = 3

= 5 u^{3}

5 \cdot \frac{1}{u} u^{2} = 5 u

5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5 u ^{2}}{u}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5 u ^{2}}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 5 u

= 5 u^{3} - 5 u

= 5 u^{3} - 5 u

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

Resolver

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u : u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

Mover

5 u

al lado izquierdo

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

Sumar

5 u

a ambos lados

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3} - 5 u + 5 u

Simplificar

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

Mover

5 u^{3}

al lado izquierdo

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

Restar

5 u^{3}

de ambos lados

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 5 u^{3} - 5 u^{3}

Simplificar

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 0

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1 = 0

Factorizar

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1 : (u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u + 1

= (u + 1) \frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

Dividir

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} : \frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

y el divisor

u + 1 : \frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

Cociente = u^{3}

Multiplicar

u + 1

por

u^{3} : u^{4} + u^{3}

Substraer

u^{4} + u^{3}

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 6 u^{3} + 5 u - 1

Por lo tanto

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

= u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

Dividir

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} : \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 6 u^{3} + 5 u - 1

y el divisor

u + 1 : \frac{- 6 u ^{3}}{u} = - 6 u^{2}

Cociente = - 6 u^{2}

Multiplicar

u + 1

por

- 6 u^{2} : - 6 u^{3} - 6 u^{2}

Substraer

- 6 u^{3} - 6 u^{2}

- 6 u^{3} + 5 u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 6 u^{2} + 5 u - 1

Por lo tanto

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

= u^{3} - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

Dividir

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} : \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} = 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

6 u^{2} + 5 u - 1

y el divisor

u + 1 : \frac{6 u ^{2}}{u} = 6 u

Cociente = 6 u

Multiplicar

u + 1

por

6 u : 6 u^{2} + 6 u

Substraer

6 u^{2} + 6 u

6 u^{2} + 5 u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - u - 1

Por lo tanto

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} = 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividir

\frac{- u - 1}{u + 1} : \frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- u - 1

y el divisor

u + 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Cociente = - 1

Multiplicar

u + 1

por

- 1 : - u - 1

Substraer

- u - 1

- u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

Factorizar

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1 : (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} - 5 u + 1

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} : \frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Cociente = u^{2}

Multiplicar

u - 1

por

u^{2} : u^{3} - u^{2}

Substraer

u^{3} - u^{2}

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 5 u^{2} + 6 u - 1

Por lo tanto

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} : \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 5 u^{2} + 6 u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{- 5 u ^{2}}{u} = - 5 u

Cociente = - 5 u

Multiplicar

u - 1

por

- 5 u : - 5 u^{2} + 5 u

Substraer

- 5 u^{2} + 5 u

- 5 u^{2} + 6 u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = u - 1

Por lo tanto

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

u - 1

y el divisor

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Cociente = 1

Multiplicar

u - 1

por

1 : u - 1

Substraer

u - 1

u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} - 5 u + 1

= u^{2} - 5 u + 1

= (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

= (u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

(u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u + 1 = 0 or u - 1 = 0 or u^{2} - 5 u + 1 = 0

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

u^{2} - 5 u + 1 = 0 : u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{2} - 5 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 5 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 5, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 5^{2} - 4

5^{2} = 25

= 25 - 4

Restar:

25 - 4 = 21

= 21

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 21}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1} : \frac{5 + 21}{2}

\frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{5 + 21}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 + 21}{2}

u = \frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1} : \frac{5 - 21}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{5 - 21}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{5 - 21}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

Las soluciones son

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

u^{2} - u^{- 2}

y comparar con cero

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

5 (u - u^{- 1})

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

e^{x} = - 1 :

Sin solución para

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

no puede ser cero o negativo para

x \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Resolver

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Simplificar

ln (1) : 0

ln (1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Resolver

e^{x} = \frac{5 + 21}{2} : x = ln (\frac{5 + 21}{2})

e^{x} = \frac{5 + 21}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = \frac{5 + 21}{2}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + 21}{2})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 + 21}{2})

x = ln (\frac{5 + 21}{2})

Resolver

e^{x} = \frac{5 - 21}{2} : x = ln (\frac{5 - 21}{2})

e^{x} = \frac{5 - 21}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = \frac{5 - 21}{2}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 - 21}{2})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

Gráfica

Ejemplos populares

cot(x-pi/2)+1=0

cot (x - \frac{π}{2}) + 1 = 0

-sin(t)+cos(t)=0

- sin (t) + cos (t) = 0

4cos(x)=3sec(x)

4 cos (x) = 3 sec (x)

2sin(x)cos(x)=2sin(x)

2 sin (x) cos (x) = 2 sin (x)

sin^2(θ)=3-2cos^2(θ)

sin^{2} (θ) = 3 - 2 cos^{2} (θ)