English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

2sinh(2x)-10sinh(x)=0

الحلّ

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

الحلّ

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

درجات

x = 0^{\circ}, x = 89.77098 \dots^{\circ}, x = - 89.77098 \dots^{\circ}

خطوات الحلّ

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

Rewrite using trig identities

2 sinh (2 x) - 10 sinh (x) = 0

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

:Use the Hyperbolic identity

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 : x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

للطرفين

10 \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

أضف

2 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} - 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 + 10 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

بسّط

e^{2 x} - e^{- 2 x} = 5 (e^{x} - e^{- x})

فعّل قانون القوى

e^{2 x} - e^{- 2 x} = 5 (e^{x} - e^{- x})

a^{b c} = (a^{b})^{c}

:فعّل قانون القوى

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}, e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2} = 5 (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

(e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2} = 5 (e^{x} - (e^{x})^{- 1})

e^{x} = u

أعد كتابة المعادلة، بحيث أنّ

(u)^{2} - (u)^{- 2} = 5 (u - (u)^{- 1})

u^{2} - u^{- 2} = 5 (u - u^{- 1})

حلّ:

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{2} - u^{- 2} = 5 (u - u^{- 1})

بسّط

u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} = 5 (u - \frac{1}{u})

u^{2}

اضرب الطرفين بـ

u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} = 5 (u - \frac{1}{u})

u^{2}

اضرب الطرفين بـ

u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

بسّط

u^{2} u^{2} - \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

u^{2} u^{2}

بسّط:

u^{4}

u^{2} u^{2}

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

2 + 2 = 4 :

اجمع الأعداد

= u^{4}

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

بسّط:

- 1

- \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

u^{2} :

إلغ العوامل المشتركة

= - 1

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

u^{4} - 1 = 5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

وسّع:

5 u^{3} - 5 u

5 (u - \frac{1}{u}) u^{2}

= 5 u^{2} (u - \frac{1}{u})

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = 5 u^{2}, b = u, c = \frac{1}{u}

= 5 u^{2} u - 5 u^{2} \frac{1}{u}

= 5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

بسّط:

5 u^{3} - 5 u

5 u^{2} u - 5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

5 u^{2} u = 5 u^{3}

5 u^{2} u

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 5 u^{2 + 1}

2 + 1 = 3 :

اجمع الأعداد

= 5 u^{3}

5 \cdot \frac{1}{u} u^{2} = 5 u

5 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= \frac{1 \cdot 5 u ^{2}}{u}

1 \cdot 5 = 5 :

اضرب الأعداد

= \frac{5 u ^{2}}{u}

u :

إلغ العوامل المشتركة

= 5 u

= 5 u^{3} - 5 u

= 5 u^{3} - 5 u

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

حلّ:

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

انقل

5 u

إلى الجانب الأيسر

u^{4} - 1 = 5 u^{3} - 5 u

للطرفين

5 u

أضف

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3} - 5 u + 5 u

بسّط

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

انقل

5 u^{3}

إلى الجانب الأيسر

u^{4} - 1 + 5 u = 5 u^{3}

من الطرفين

5 u^{3}

اطرح

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 5 u^{3} - 5 u^{3}

بسّط

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 0

u^{4} - 1 + 5 u - 5 u^{3} = 0

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1 = 0

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

حلّل إلى عوامل:

(u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

استعمل نظريّة الجذر الكسريّ

u + 1

هو جذر للتعبير، إذًا فلتخرج

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

لذلك، افحص الأعداد الكسريّة التالية

a_{n} : 1

القواسم لـ

a_{0} : 1,

القواسم لـ

a_{0} = 1, a_{n} = 1

= (u + 1) \frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

اقسم:

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{u ^{4}}{u} = u^{3} : u + 1

والمقام

Quotient = u^{3}

u^{4} + u^{3} : u^{3}

بـ

u + 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

u^{4} - 5 u^{3} + 5 u - 1

من

u^{4} + u^{3}

اطرح

باقي = - 6 u^{3} + 5 u - 1

لذلك

\frac{u ^{4} - 5 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

= u^{3} + \frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1}

اقسم:

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

- 6 u^{3} + 5 u - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{- 6 u ^{3}}{u} = - 6 u^{2} : u + 1

والمقام

Quotient = - 6 u^{2}

- 6 u^{3} - 6 u^{2} : - 6 u^{2}

بـ

u + 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

- 6 u^{3} + 5 u - 1

من

- 6 u^{3} - 6 u^{2}

اطرح

باقي = 6 u^{2} + 5 u - 1

لذلك

\frac{- 6 u ^{3} + 5 u - 1}{u + 1} = - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

= u^{3} - 6 u^{2} + \frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1}

اقسم:

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} = 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

6 u^{2} + 5 u - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{6 u ^{2}}{u} = 6 u : u + 1

والمقام

Quotient = 6 u

6 u^{2} + 6 u : 6 u

بـ

u + 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

6 u^{2} + 5 u - 1

من

6 u^{2} + 6 u

اطرح

باقي = - u - 1

لذلك

\frac{6 u ^{2} + 5 u - 1}{u + 1} = 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u + \frac{- u - 1}{u + 1}

\frac{- u - 1}{u + 1}

اقسم:

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

- u - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{- u}{u} = - 1 : u + 1

والمقام

Quotient = - 1

- u - 1 : - 1

بـ

u + 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

- u - 1

من

- u - 1

اطرح

باقي = 0

لذلك

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

= u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

حلل إلى عوامل:

(u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

استعمل نظريّة الجذر الكسريّ

u - 1

هو جذر للتعبير، إذًا فلتخرج

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

لذلك، افحص الأعداد الكسريّة التالية

a_{n} : 1

القواسم لـ

a_{0} : 1,

القواسم لـ

a_{0} = 1, a_{n} = 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} - 5 u + 1

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

اقسم:

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{u ^{3}}{u} = u^{2} : u - 1

والمقام

Quotient = u^{2}

u^{3} - u^{2} : u^{2}

بـ

u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

u^{3} - 6 u^{2} + 6 u - 1

من

u^{3} - u^{2}

اطرح

باقي = - 5 u^{2} + 6 u - 1

لذلك

\frac{u ^{3} - 6 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1}

اقسم:

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

- 5 u^{2} + 6 u - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{- 5 u ^{2}}{u} = - 5 u : u - 1

والمقام

Quotient = - 5 u

- 5 u^{2} + 5 u : - 5 u

بـ

u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

- 5 u^{2} + 6 u - 1

من

- 5 u^{2} + 5 u

اطرح

باقي = u - 1

لذلك

\frac{- 5 u ^{2} + 6 u - 1}{u - 1} = - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} - 5 u + \frac{u - 1}{u - 1}

\frac{u - 1}{u - 1}

اقسم:

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

u - 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{u}{u} = 1 : u - 1

والمقام

Quotient = 1

u - 1 : 1

بـ

u - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

u - 1

من

u - 1

اطرح

باقي = 0

لذلك

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} - 5 u + 1

= u^{2} - 5 u + 1

= (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

= (u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1)

(u + 1) (u - 1) (u^{2} - 5 u + 1) = 0

حلّ عن طريق مساواة العوامل لصفر

u + 1 = 0 or u - 1 = 0 or u^{2} - 5 u + 1 = 0

u + 1 = 0

حلّ:

u = - 1

u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

u = - 1

u = - 1

u - 1 = 0

حلّ:

u = 1

u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

u = 1

u = 1

u^{2} - 5 u + 1 = 0

حلّ:

u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u^{2} - 5 u + 1 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

u^{2} - 5 u + 1 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = 1, b = - 5, c = 1

لـ

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

زوجيّ n

إذا تحقّق أنّ

, (- a)^{n} = a^{n}

:فعّل قانون القوى

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 :

اضرب الأعداد

= 5^{2} - 4

5^{2} = 25

= 25 - 4

25 - 4 = 21 :

اطرح الأعداد

= 21

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 21}{2 \cdot 1}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1} : \frac{5 + 21}{2}

\frac{- ( - 5 ) + 21}{2 \cdot 1}

- (- a) = a

فعّل القانون

= \frac{5 + 21}{2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= \frac{5 + 21}{2}

u = \frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1} : \frac{5 - 21}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 21}{2 \cdot 1}

- (- a) = a

فعّل القانون

= \frac{5 - 21}{2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= \frac{5 - 21}{2}

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

The solutions are

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

افحص الإجبات

جد نقاط غير معرّفة:

u = 0

وقم بمساواتها لصفر

u^{2} - u^{- 2}

خذ المقامات في

u^{2} = 0

حلّ:

u = 0

u^{2} = 0

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

فعّل القانون

u = 0

وقم بمساواتها لصفر

5 (u - u^{- 1})

خذ المقامات في

u = 0

النقاط التالية غير معرّفة

u = 0

ضمّ النقاط غير المعرّفة مع الحلول

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

u = - 1, u = 1, u = \frac{5 + 21}{2}, u = \frac{5 - 21}{2}

Substitute back

u = e^{x},

solve for

x

e^{x} = - 1

حلّ:

x \in R

لا يوجد حلّ لـ

e^{x} = - 1

x \in R

لا يمكن أن يكون سالبًا أو صفرًا لـ

a^{f (x)}

x \in R لا يوجد حلّ لـ

e^{x} = 1

حلّ:

x = 0

e^{x} = 1

فعّل قانون القوى

e^{x} = 1

ln (f (x)) = ln (g (x))

إذا

, f (x) = g (x)

إذا تحقّق أنّ

ln (e^{x}) = ln (1)

ln (e^{a}) = a

:فعّل قانون اللوغارتمات

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

ln (1)

بسّط:

0

ln (1)

lo g_{a} (1) = 0

:فعّل قانون اللوغارتمات

= 0

x = 0

x = 0

e^{x} = \frac{5 + 21}{2}

حلّ:

x = ln (\frac{5 + 21}{2})

e^{x} = \frac{5 + 21}{2}

فعّل قانون القوى

e^{x} = \frac{5 + 21}{2}

ln (f (x)) = ln (g (x))

إذا

, f (x) = g (x)

إذا تحقّق أنّ

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + 21}{2})

ln (e^{a}) = a

:فعّل قانون اللوغارتمات

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 + 21}{2})

x = ln (\frac{5 + 21}{2})

e^{x} = \frac{5 - 21}{2}

حلّ:

x = ln (\frac{5 - 21}{2})

e^{x} = \frac{5 - 21}{2}

فعّل قانون القوى

e^{x} = \frac{5 - 21}{2}

ln (f (x)) = ln (g (x))

إذا

, f (x) = g (x)

إذا تحقّق أنّ

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 - 21}{2})

ln (e^{a}) = a

:فعّل قانون اللوغارتمات

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

x = 0, x = ln (\frac{5 + 21}{2}), x = ln (\frac{5 - 21}{2})

رسم

أمثلة شائعة

cot(x-pi/2)+1=0

cot (x - \frac{π}{2}) + 1 = 0

-sin(t)+cos(t)=0

- sin (t) + cos (t) = 0

4cos(x)=3sec(x)

4 cos (x) = 3 sec (x)

2sin(x)cos(x)=2sin(x)

2 sin (x) cos (x) = 2 sin (x)

csc(3x)=2

csc (3 x) = 2