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Beliebt Trigonometrie >

14(1-cos(θ))=sin^2(θ)

Lösung

14 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Lösung

θ = 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

14 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Subtrahiere

sin^{2} (θ)

von beiden Seiten

14 (1 - cos (θ)) - sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- sin^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 14

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 14

Vereinfache

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 14 : cos^{2} (θ) - 14 cos (θ) + 13

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 14

= - (1 - cos^{2} (θ)) + 14 (1 - cos (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 14

Multipliziere aus

14 (1 - cos (θ)) : 14 - 14 cos (θ)

14 (1 - cos (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 14, b = 1, c = cos (θ)

= 14 \cdot 1 - 14 cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

14 \cdot 1 = 14

= 14 - 14 cos (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + 14 - 14 cos (θ)

Vereinfache

- 1 + cos^{2} (θ) + 14 - 14 cos (θ) : cos^{2} (θ) - 14 cos (θ) + 13

- 1 + cos^{2} (θ) + 14 - 14 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (θ) - 14 cos (θ) - 1 + 14

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 14 = 13

= cos^{2} (θ) - 14 cos (θ) + 13

= cos^{2} (θ) - 14 cos (θ) + 13

= cos^{2} (θ) - 14 cos (θ) + 13

13 + cos^{2} (θ) - 14 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

13 + cos^{2} (θ) - 14 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

13 + u^{2} - 14 u = 0

13 + u^{2} - 14 u = 0 : u = 13, u = 1

13 + u^{2} - 14 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 14 u + 13 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 14 u + 13 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 14, c = 13

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm ( - 14 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 13}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm ( - 14 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 13}{2 \cdot 1}

(- 14)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 12

(- 14)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 13

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 14)^{2} = 1 4^{2}

= 1 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 13 = 52

= 1 4^{2} - 52

1 4^{2} = 196

= 196 - 52

Subtrahiere die Zahlen:

196 - 52 = 144

= 144

Faktorisiere die Zahl:

144 = 1 2^{2}

= 1 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 2^{2} = 12

= 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 14 ) \pm 12}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 14 ) + 12}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 14 ) - 12}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 14 ) + 12}{2 \cdot 1} : 13

\frac{- ( - 14 ) + 12}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{14 + 12}{2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

14 + 12 = 26

= \frac{26}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{26}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{26}{2} = 13

= 13

u = \frac{- ( - 14 ) - 12}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- ( - 14 ) - 12}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{14 - 12}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

14 - 12 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 13, u = 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 13, cos (θ) = 1

cos (θ) = 13, cos (θ) = 1

cos (θ) = 13 :

Keine Lösung

cos (θ) = 13

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3tan(x)sin(x)-3tan(x)=0

3 tan (x) sin (x) - 3 tan (x) = 0

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solvefor x,cot(x)=1

so l v e f or x, cot (x) = 1

sin^4(x)+cos^4(x)= 5/8

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