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Beliebt Trigonometrie >

5cosh(x)-3sinh(x)=5

Lösung

5 cosh (x) - 3 sinh (x) = 5

Lösung

x = 2 ln (2), x = 0

Grad

x = 79.42881 \dots^{\circ}, x = 0^{\circ}

Schritte zur Lösung

5 cosh (x) - 3 sinh (x) = 5

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 cosh (x) - 3 sinh (x) = 5

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

5 cosh (x) - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5 : x = 2 ln (2), x = 0

5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Wende Exponentenregel an

5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

5 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 5

5 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 5

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

5 \cdot \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2} - 3 \cdot \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2} = 5

Löse

5 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} - 3 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 5 : u = 4, u = 1

5 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} - 3 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 5

Fasse zusammen

\frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} - \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = 5

Multipliziere beide Seiten mit

2 u

\frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} - \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = 5

Multipliziere beide Seiten mit

2 u

\frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u - \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 5 \cdot 2 u

Vereinfache

\frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u - \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 5 \cdot 2 u

Vereinfache

\frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u : 5 (u^{2} + 1)

\frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 ( u ^{2} + 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 ( u ^{2} + 1 ) u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 5 (u^{2} + 1)

Vereinfache

- \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u : - 3 (u^{2} - 1)

- \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{3 ( u ^{2} - 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3 ( u ^{2} - 1 ) u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 3 (u^{2} - 1)

Vereinfache

5 \cdot 2 u : 10 u

5 \cdot 2 u

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= 10 u

5 (u^{2} + 1) - 3 (u^{2} - 1) = 10 u

5 (u^{2} + 1) - 3 (u^{2} - 1) = 10 u

5 (u^{2} + 1) - 3 (u^{2} - 1) = 10 u

Löse

5 (u^{2} + 1) - 3 (u^{2} - 1) = 10 u : u = 4, u = 1

5 (u^{2} + 1) - 3 (u^{2} - 1) = 10 u

Schreibe

5 (u^{2} + 1) - 3 (u^{2} - 1)

um:

2 u^{2} + 8

5 (u^{2} + 1) - 3 (u^{2} - 1)

Multipliziere aus

5 (u^{2} + 1) : 5 u^{2} + 5

5 (u^{2} + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 5, b = u^{2}, c = 1

= 5 u^{2} + 5 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 5 u^{2} + 5

= 5 u^{2} + 5 - 3 (u^{2} - 1)

Multipliziere aus

- 3 (u^{2} - 1) : - 3 u^{2} + 3

- 3 (u^{2} - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = u^{2}, c = 1

= - 3 u^{2} - (- 3) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 u^{2} + 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 u^{2} + 3

= 5 u^{2} + 5 - 3 u^{2} + 3

Vereinfache

5 u^{2} + 5 - 3 u^{2} + 3 : 2 u^{2} + 8

5 u^{2} + 5 - 3 u^{2} + 3

Fasse gleiche Terme zusammen

= 5 u^{2} - 3 u^{2} + 5 + 3

Addiere gleiche Elemente:

5 u^{2} - 3 u^{2} = 2 u^{2}

= 2 u^{2} + 5 + 3

Addiere die Zahlen:

5 + 3 = 8

= 2 u^{2} + 8

= 2 u^{2} + 8

2 u^{2} + 8 = 10 u

Verschiebe

10 u

auf die linke Seite

2 u^{2} + 8 = 10 u

Subtrahiere

10 u

von beiden Seiten

2 u^{2} + 8 - 10 u = 10 u - 10 u

Vereinfache

2 u^{2} + 8 - 10 u = 0

2 u^{2} + 8 - 10 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 10 u + 8 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 10 u + 8 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 10, c = 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8}{2 \cdot 2}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 6

(- 10)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 8 = 64

= 1 0^{2} - 64

1 0^{2} = 100

= 100 - 64

Subtrahiere die Zahlen:

100 - 64 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 6}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 6}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 6}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 10 ) + 6}{2 \cdot 2} : 4

\frac{- ( - 10 ) + 6}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 + 6}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

10 + 6 = 16

= \frac{16}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{16}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{4} = 4

= 4

u = \frac{- ( - 10 ) - 6}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 10 ) - 6}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 - 6}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

10 - 6 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 4, u = 1

u = 4, u = 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

5 \frac{u + u ^{- 1}}{2} - 3 \frac{u - u ^{- 1}}{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 4, u = 1

u = 4, u = 1

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 4 : x = 2 ln (2)

e^{x} = 4

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 4

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (4)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (4)

Vereinfache

ln (4) : 2 ln (2)

ln (4)

Schreibe

4

um in Potenz-Stammform:

4 = 2^{2}

= ln (2^{2})

Wende die log Regel an:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x)

ln (2^{2}) = 2 ln (2)

= 2 ln (2)

x = 2 ln (2)

x = 2 ln (2)

Löse

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 1

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Vereinfache

ln (1) : 0

ln (1)

Wende die log Regel an:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

x = 2 ln (2), x = 0

x = 2 ln (2), x = 0

Graph

Beliebte Beispiele

sin^2(x)cos(x)-cos(x)=0

sin^{2} (x) cos (x) - cos (x) = 0

sin(2θ)=(sqrt(3))/2 ,0<= θ<= 2pi

sin (2 θ) = \frac{3}{2}, 0 \leq θ \leq 2 π

-6sin^2(x)=cos(2x)-2

- 6 sin^{2} (x) = cos (2 x) - 2

(sin(x))/(sin(2x))= 1/2

\frac{sin ( x )}{sin ( 2 x )} = \frac{1}{2}

-4cos(2θ)-19=-26cos(θ)

- 4 cos (2 θ) - 19 = - 26 cos (θ)