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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(x)+cos(x)=cos(2x)

Lösung

cos^{2} (x) + cos (x) = cos (2 x)

Lösung

x = 2.23703 \dots + 2 πn, x = - 2.23703 \dots + 2 πn

Grad

x = 128.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 128.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) + cos (x) = cos (2 x)

Subtrahiere

cos (2 x)

von beiden Seiten

cos^{2} (x) + cos (x) - cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (2 x) + cos (x) + cos^{2} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - (2 cos^{2} (x) - 1) + cos (x) + cos^{2} (x)

Vereinfache

- (2 cos^{2} (x) - 1) + cos (x) + cos^{2} (x) : - cos^{2} (x) + cos (x) + 1

- (2 cos^{2} (x) - 1) + cos (x) + cos^{2} (x)

- (2 cos^{2} (x) - 1) : - 2 cos^{2} (x) + 1

- (2 cos^{2} (x) - 1)

Setze Klammern

= - (2 cos^{2} (x)) - (- 1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) + 1 + cos (x) + cos^{2} (x)

Vereinfache

- 2 cos^{2} (x) + 1 + cos (x) + cos^{2} (x) : - cos^{2} (x) + cos (x) + 1

- 2 cos^{2} (x) + 1 + cos (x) + cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 cos^{2} (x) + cos (x) + cos^{2} (x) + 1

Addiere gleiche Elemente:

- 2 cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = - cos^{2} (x)

= - cos^{2} (x) + cos (x) + 1

= - cos^{2} (x) + cos (x) + 1

= - cos^{2} (x) + cos (x) + 1

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 + u - u^{2} = 0

1 + u - u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

1 + u - u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} + u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Addiere die Zahlen:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 1 - 5 = - (1 + 5)

= \frac{1 + 5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 5}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.23703 \dots + 2 πn, x = - 2.23703 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)= 3/(sqrt(13))

cos (x) = \frac{3}{13}

3tan^3(x)-9tan(x)=0

3 tan^{3} (x) - 9 tan (x) = 0

cot(θ)=-1,cos(θ),90<θ<180

cot (θ) = - 1, cos (θ), 9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}

2sin(3θ)+1=0,0<= θ<= 2pi

2 sin (3 θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π

arctan(x)=-pi/6

arctan (x) = - \frac{π}{6}