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sqrt(4cos(θ))=1-cos(θ)

Solución

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

Solución

θ = 1.39837 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39837 \dots + 2 πn

Grados

θ = 80.12071 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 279.87928 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

Usando el método de sustitución

4 cos (θ) = 1 - cos (θ)

Sea:

cos (θ) = u

4 u = 1 - u

4 u = 1 - u : u = 3 - 22

4 u = 1 - u

Elevar al cuadrado ambos lados:

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - u

(4 u)^{2} = (1 - u)^{2}

Desarrollar

(4 u)^{2} : 4 u

(4 u)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((4 u)^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (4 u)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 4 u

Desarrollar

(1 - u)^{2} : 1 - 2 u + u^{2}

(1 - u)^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = u

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

Simplificar

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2} : 1 - 2 u + u^{2}

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 u + u^{2}

= 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

Resolver

4 u = 1 - 2 u + u^{2} : u = 3 + 22, u = 3 - 22

4 u = 1 - 2 u + u^{2}

Intercambiar lados

1 - 2 u + u^{2} = 4 u

Mover

4 u

al lado izquierdo

1 - 2 u + u^{2} = 4 u

Restar

4 u

de ambos lados

1 - 2 u + u^{2} - 4 u = 4 u - 4 u

Simplificar

u^{2} - 6 u + 1 = 0

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 6 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 6, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 42

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} - 4

6^{2} = 36

= 36 - 4

Restar:

36 - 4 = 32

= 32

Descomposición en factores primos de

32 : 2^{5}

32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Simplificar

= 42

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 4 2}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1} : 3 + 22

\frac{- ( - 6 ) + 4 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{6 + 4 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 + 4 2}{2}

Factorizar

6 + 42 : 2 (3 + 22)

6 + 42

Reescribir como

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 + 22)

= \frac{2 ( 3 + 2 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 22

u = \frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1} : 3 - 22

\frac{- ( - 6 ) - 4 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{6 - 4 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 - 4 2}{2}

Factorizar

6 - 42 : 2 (3 - 22)

6 - 42

Reescribir como

= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (3 - 22)

= \frac{2 ( 3 - 2 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 22

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 3 + 22, u = 3 - 22

u = 3 + 22, u = 3 - 22

Verificar las soluciones:

u = 3 + 22

Falso

, u = 3 - 22

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

4 u = 1 - u

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

u = 3 + 22 :

Falso

4 (3 + 22) = 1 - (3 + 22)

1 - (3 + 22) = - 2 - 22

1 - (3 + 22)

- (3 + 22) : - 3 - 22

- (3 + 22)

Poner los parentesis

= - (3) - (22)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 3 - 22

= 1 - 3 - 22

Restar:

1 - 3 = - 2

= - 2 - 22

4 (3 + 22) = - 2 - 22

Falso

Sustituir

u = 3 - 22 :

Verdadero

4 (3 - 22) = 1 - (3 - 22)

1 - (3 - 22) = 22 - 2

1 - (3 - 22)

- (3 - 22) : - 3 + 22

- (3 - 22)

Poner los parentesis

= - (3) - (- 22)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 3 + 22

= 1 - 3 + 22

Restar:

1 - 3 = - 2

= 22 - 2

4 (3 - 22) = 22 - 2

Verdadero

La solución es

u = 3 - 22

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = 3 - 22

cos (θ) = 3 - 22

cos (θ) = 3 - 22 : θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

cos (θ) = 3 - 22

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = 3 - 22

Soluciones generales para

cos (θ) = 3 - 22

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arccos (3 - 22) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (3 - 22) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 1.39837 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.39837 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

sin(x/3)=0

sin (\frac{x}{3}) = 0

cos(x)=0.95

cos (x) = 0.95

2cos(2θ)+2cos(θ)+2=3cos(θ)

2 cos (2 θ) + 2 cos (θ) + 2 = 3 cos (θ)

1+csc(x)=cot^2(x)

1 + csc (x) = cot^{2} (x)

cos(1/(4θ))=(-sqrt(2))/2

cos (\frac{1}{4 θ}) = \frac{- 2}{2}