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Beliebt Trigonometrie >

4cos^2(x)-2sin(x)+1=0

Lösung

4 cos^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 = 0

Lösung

x = 1.10987 \dots + 2 πn, x = π - 1.10987 \dots + 2 πn

Grad

x = 63.59125 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 116.40874 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - 2 sin (x) + 4 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

1 - 2 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) : - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 5

1 - 2 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x)

Vereinfache

1 - 2 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) : - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 5

1 - 2 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 1 + 4

Addiere die Zahlen:

1 + 4 = 5

= - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 5

= - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 5

= - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 5

5 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

5 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

5 - 2 u - 4 u^{2} = 0

5 - 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 21}{4}, u = \frac{21 - 1}{4}

5 - 2 u - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 2 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 2 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 2, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 5}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 5}{2 ( - 4 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 4) \cdot 5 = 221

(- 2)^{2} - 4 (- 4) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 5 = 80

= 2^{2} + 80

2^{2} = 4

= 4 + 80

Addiere die Zahlen:

4 + 80 = 84

= 84

Primfaktorzerlegung von

84 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

84

84

ist durch

284 = 42 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 42

42

ist durch

242 = 21 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 21

21

ist durch

321 = 7 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 7

Fasse zusammen

= 221

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 21}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 21}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 21}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 21}{2 ( - 4 )} : - \frac{1 + 21}{4}

\frac{- ( - 2 ) + 2 21}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 21}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 + 2 21}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 21}{8}

Streiche

\frac{2 + 2 21}{8} : \frac{1 + 21}{4}

\frac{2 + 2 21}{8}

Faktorisiere

2 + 221 : 2 (1 + 21)

2 + 221

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 221

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 21)

= \frac{2 ( 1 + 21 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 21}{4}

= - \frac{1 + 21}{4}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 21}{2 ( - 4 )} : \frac{21 - 1}{4}

\frac{- ( - 2 ) - 2 21}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 21}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 - 2 21}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 221 = - (221 - 2)

= \frac{2 21 - 2}{8}

Faktorisiere

221 - 2 : 2 (21 - 1)

221 - 2

Schreibe um

= 221 - 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (21 - 1)

= \frac{2 ( 21 - 1 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{21 - 1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 21}{4}, u = \frac{21 - 1}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{1 + 21}{4}, sin (x) = \frac{21 - 1}{4}

sin (x) = - \frac{1 + 21}{4}, sin (x) = \frac{21 - 1}{4}

sin (x) = - \frac{1 + 21}{4} :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{1 + 21}{4}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = \frac{21 - 1}{4} : x = arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{21 - 1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{21 - 1}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{21 - 1}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.10987 \dots + 2 πn, x = π - 1.10987 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(x)=(3sqrt(3))/5

tan (x) = \frac{3 3}{5}

6cos^2(x)+7cos(x)+2=0

6 cos^{2} (x) + 7 cos (x) + 2 = 0

sin(θ)= 4/5 ,0<θ< pi/2 ,sin(2θ)

sin (θ) = \frac{4}{5}, 0 < θ < \frac{π}{2}, sin (2 θ)

sin(x)-4=cos(x)-4

sin (x) - 4 = cos (x) - 4

cos(9x+15)=sin(7x-5)

cos (9 x + 15) = sin (7 x - 5)