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4cos^2(x)-2sin(x)+1=0

Solución

4 cos^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 = 0

Solución

x = 1.10987 \dots + 2 πn, x = π - 1.10987 \dots + 2 πn

Grados

x = 63.59125 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 116.40874 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 cos^{2} (x) - 2 sin (x) + 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

1 - 2 sin (x) + 4 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

1 - 2 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) : - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 5

1 - 2 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x)

Simplificar

1 - 2 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) : - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 5

1 - 2 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 1 + 4

Sumar:

1 + 4 = 5

= - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 5

= - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 5

= - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 5

5 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

5 - 2 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

5 - 2 u - 4 u^{2} = 0

5 - 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 21}{4}, u = \frac{21 - 1}{4}

5 - 2 u - 4 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 2 u + 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 4 u^{2} - 2 u + 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 4, b = - 2, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 5}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 5}{2 ( - 4 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 4) \cdot 5 = 221

(- 2)^{2} - 4 (- 4) \cdot 5

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 5 = 80

= 2^{2} + 80

2^{2} = 4

= 4 + 80

Sumar:

4 + 80 = 84

= 84

Descomposición en factores primos de

84 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

84

84

divida por

284 = 42 \cdot 2

= 2 \cdot 42

42

divida por

242 = 21 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 21

21

divida por

321 = 7 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 3 \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 7

Simplificar

= 221

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 21}{2 ( - 4 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 21}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 21}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 21}{2 ( - 4 )} : - \frac{1 + 21}{4}

\frac{- ( - 2 ) + 2 21}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 21}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 + 2 21}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 21}{8}

Cancelar

\frac{2 + 2 21}{8} : \frac{1 + 21}{4}

\frac{2 + 2 21}{8}

Factorizar

2 + 221 : 2 (1 + 21)

2 + 221

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 221

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + 21)

= \frac{2 ( 1 + 21 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1 + 21}{4}

= - \frac{1 + 21}{4}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 21}{2 ( - 4 )} : \frac{21 - 1}{4}

\frac{- ( - 2 ) - 2 21}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 21}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 - 2 21}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 221 = - (221 - 2)

= \frac{2 21 - 2}{8}

Factorizar

221 - 2 : 2 (21 - 1)

221 - 2

Reescribir como

= 221 - 2 \cdot 1

Factorizar el termino común

2

= 2 (21 - 1)

= \frac{2 ( 21 - 1 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{21 - 1}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1 + 21}{4}, u = \frac{21 - 1}{4}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{1 + 21}{4}, sin (x) = \frac{21 - 1}{4}

sin (x) = - \frac{1 + 21}{4}, sin (x) = \frac{21 - 1}{4}

sin (x) = - \frac{1 + 21}{4} :

Sin solución

sin (x) = - \frac{1 + 21}{4}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = \frac{21 - 1}{4} : x = arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{21 - 1}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{21 - 1}{4}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{21 - 1}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{21 - 1}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.10987 \dots + 2 πn, x = π - 1.10987 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

tan(x)=(3sqrt(3))/5

tan (x) = \frac{3 3}{5}

tan(x)+1=-1/(sqrt(3))-1/(sqrt(3))cot(x)

tan (x) + 1 = - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} cot (x)

6cos^2(x)+7cos(x)+2=0

6 cos^{2} (x) + 7 cos (x) + 2 = 0

sin(θ)= 4/5 ,0<θ< pi/2 ,sin(2θ)

sin (θ) = \frac{4}{5}, 0 < θ < \frac{π}{2}, sin (2 θ)

sin(x)-4=cos(x)-4

sin (x) - 4 = cos (x) - 4