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3cos(2θ)-sin(θ)=1

Solución

3 cos (2 θ) - sin (θ) = 1

Solución

θ = - 0.72972 \dots + 2 πn, θ = π + 0.72972 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grados

θ = - 41.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 221.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 cos (2 θ) - sin (θ) = 1

Restar

1

de ambos lados

3 cos (2 θ) - sin (θ) - 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 - sin (θ) + 3 cos (2 θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 - sin (θ) + 3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Simplificar

- 1 - sin (θ) + 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 6 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

- 1 - sin (θ) + 3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Expandir

3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : 3 - 6 sin^{2} (θ)

3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = 2 sin^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Simplificar

3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 sin^{2} (θ) : 3 - 6 sin^{2} (θ)

3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= 3 - 6 sin^{2} (θ)

= 3 - 6 sin^{2} (θ)

= - 1 - sin (θ) + 3 - 6 sin^{2} (θ)

Simplificar

- 1 - sin (θ) + 3 - 6 sin^{2} (θ) : - 6 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

- 1 - sin (θ) + 3 - 6 sin^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= - sin (θ) - 6 sin^{2} (θ) - 1 + 3

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 3 = 2

= - 6 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

= - 6 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

= - 6 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

2 - sin (θ) - 6 sin^{2} (θ) = 0

Usando el método de sustitución

2 - sin (θ) - 6 sin^{2} (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

2 - u - 6 u^{2} = 0

2 - u - 6 u^{2} = 0 : u = - \frac{2}{3}, u = \frac{1}{2}

2 - u - 6 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 u^{2} - u + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 6 u^{2} - u + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 6, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 2}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 2}{2 ( - 6 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 6) \cdot 2 = 7

(- 1)^{2} - 4 (- 6) \cdot 2

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

4 \cdot 6 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

= 48

= 1 + 48

Sumar:

1 + 48 = 49

= 49

Descomponer el número en factores primos:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7}{2 ( - 6 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 7}{2 ( - 6 )} : - \frac{2}{3}

\frac{- ( - 1 ) + 7}{2 ( - 6 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 7}{- 2 \cdot 6}

Sumar:

1 + 7 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 6}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{8}{- 12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{12}

Eliminar los terminos comunes:

4

= - \frac{2}{3}

u = \frac{- ( - 1 ) - 7}{2 ( - 6 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 7}{2 ( - 6 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 7}{- 2 \cdot 6}

Restar:

1 - 7 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 6}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{- 12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{12}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{2}{3}, u = \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = - \frac{2}{3}, sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = - \frac{2}{3}, sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = - \frac{2}{3} : θ = arcsin (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{2}{3}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (θ) = - \frac{2}{3}

Soluciones generales para

sin (θ) = - \frac{2}{3}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arcsin (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = - 0.72972 \dots + 2 πn, θ = π + 0.72972 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Ejemplos populares

1/2-sin(x)=1

\frac{1}{2} - sin (x) = 1

sin(t)+2=3

sin (t) + 2 = 3

tan(3θ)=-1

tan (3 θ) = - 1

1+2sin(2x)=0

1 + 2 sin (2 x) = 0

2sech^2(x)+tanh(x)=0

2 sech^{2} (x) + tanh (x) = 0