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sin(θ)=1-2cos(θ)

Solución

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

Solución

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - 0.64350 \dots + 2 πn

Grados

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 323.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

sin^{2} (θ) = (1 - 2 cos (θ))^{2}

Restar

(1 - 2 cos (θ))^{2}

de ambos lados

sin^{2} (θ) - 1 + 4 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + sin^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= 4 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) - cos^{2} (θ)

Simplificar

= 4 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ)

4 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ) = 0

Usando el método de sustitución

4 cos (θ) - 5 cos^{2} (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

4 u - 5 u^{2} = 0

4 u - 5 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{4}{5}

4 u - 5 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} + 4 u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 5 u^{2} + 4 u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 5, b = 4, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

4^{2} - 4 (- 5) \cdot 0 = 4

4^{2} - 4 (- 5) \cdot 0

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 4^{2} + 0

4^{2} + 0 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 4

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4}{2 ( - 5 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 4 + 4}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- 4 - 4}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- 4 + 4}{2 ( - 5 )} : 0

\frac{- 4 + 4}{2 ( - 5 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 4}{- 2 \cdot 5}

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 4 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{0}{- 10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{10}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 4 - 4}{2 ( - 5 )} : \frac{4}{5}

\frac{- 4 - 4}{2 ( - 5 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 4}{- 2 \cdot 5}

Restar:

- 4 - 4 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 8}{- 10}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{4}{5}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 0, u = \frac{4}{5}

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = 0, cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (θ) = 0, cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Soluciones generales para

cos (θ) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = \frac{4}{5} : θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{4}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{4}{5}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{4}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{π}{2} + 2 πn :

Verdadero

\frac{π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

por

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 1 - 2 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

por

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 1 - 2 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Simplificar

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falso

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

por

θ = arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

sin (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1 - 2 cos (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

Simplificar

0.6 = - 0.6

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Verdadero

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

sin (θ) = 1 - 2 cos (θ)

por

θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

sin (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1 - 2 cos (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.6 = - 0.6

\Rightarrow Verdadero

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 2 π - 0.64350 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

6sec^2(x)-6sec(x)=12

6 sec^{2} (x) - 6 sec (x) = 12

sin(a)=(sqrt(2))/2

sin (a) = \frac{2}{2}

sin^2(x)-cos(x)=1

sin^{2} (x) - cos (x) = 1

cos^2(x)+2sin(x)+2=0

cos^{2} (x) + 2 sin (x) + 2 = 0

2sin^2(2x+pi)-sin(2x+pi)-1=0

2 sin^{2} (2 x + π) - sin (2 x + π) - 1 = 0