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Beliebt Trigonometrie >

5sin(x)=cos(x)-4

Lösung

5 sin (x) = cos (x) - 4

Lösung

x = - 2.04236 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.70443 \dots + 2 πn

Grad

x = - 117.01888 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 319.63875 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sin (x) = cos (x) - 4

Quadriere beide Seiten

(5 sin (x))^{2} = (cos (x) - 4)^{2}

Subtrahiere

(cos (x) - 4)^{2}

von beiden Seiten

25 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 16 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 16 - cos^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) + 8 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) + 8 cos (x)

Vereinfache

- 16 - cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) + 8 cos (x) : 8 cos (x) - 26 cos^{2} (x) + 9

- 16 - cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) + 8 cos (x)

Multipliziere aus

25 (1 - cos^{2} (x)) : 25 - 25 cos^{2} (x)

25 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 cos^{2} (x)

= - 16 - cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) + 8 cos (x)

Vereinfache

- 16 - cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) + 8 cos (x) : 8 cos (x) - 26 cos^{2} (x) + 9

- 16 - cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) + 8 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 16 + 25

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 26 cos^{2} (x)

= - 26 cos^{2} (x) + 8 cos (x) - 16 + 25

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 16 + 25 = 9

= 8 cos (x) - 26 cos^{2} (x) + 9

= 8 cos (x) - 26 cos^{2} (x) + 9

= 8 cos (x) - 26 cos^{2} (x) + 9

9 - 26 cos^{2} (x) + 8 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

9 - 26 cos^{2} (x) + 8 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

9 - 26 u^{2} + 8 u = 0

9 - 26 u^{2} + 8 u = 0 : u = - \frac{- 4 + 5 10}{26}, u = \frac{4 + 5 10}{26}

9 - 26 u^{2} + 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 26 u^{2} + 8 u + 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 26 u^{2} + 8 u + 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 26, b = 8, c = 9

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 26 ) \cdot 9}{2 ( - 26 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 26 ) \cdot 9}{2 ( - 26 )}

8^{2} - 4 (- 26) \cdot 9 = 1010

8^{2} - 4 (- 26) \cdot 9

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 26 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 26 \cdot 9 = 936

= 8^{2} + 936

8^{2} = 64

= 64 + 936

Addiere die Zahlen:

64 + 936 = 1000

= 1000

Primfaktorzerlegung von

1000 : 2^{3} \cdot 5^{3}

1000

1000

ist durch

21000 = 500 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 500

500

ist durch

2500 = 250 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 250

250

ist durch

2250 = 125 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 125

125

ist durch

5125 = 25 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 25

25

ist durch

525 = 5 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5^{3}

= 2^{3} \cdot 5^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 5^{2} 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 5^{2} 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 2 \cdot 5 2 \cdot 5

Fasse zusammen

= 1010

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 10 10}{2 ( - 26 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 8 + 10 10}{2 ( - 26 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 10 10}{2 ( - 26 )}

u = \frac{- 8 + 10 10}{2 ( - 26 )} : - \frac{- 4 + 5 10}{26}

\frac{- 8 + 10 10}{2 ( - 26 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 10 10}{- 2 \cdot 26}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 8 + 10 10}{- 52}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 8 + 10 10}{52}

Streiche

\frac{- 8 + 10 10}{52} : \frac{5 10 - 4}{26}

\frac{- 8 + 10 10}{52}

Faktorisiere

- 8 + 1010 : 2 (- 4 + 510)

- 8 + 1010

Schreibe um

= - 2 \cdot 4 + 2 \cdot 510

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 4 + 510)

= \frac{2 ( - 4 + 5 10 )}{52}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 4 + 5 10}{26}

= - \frac{5 10 - 4}{26}

= - \frac{- 4 + 5 10}{26}

u = \frac{- 8 - 10 10}{2 ( - 26 )} : \frac{4 + 5 10}{26}

\frac{- 8 - 10 10}{2 ( - 26 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 10 10}{- 2 \cdot 26}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 26 = 52

= \frac{- 8 - 10 10}{- 52}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 8 - 1010 = - (8 + 1010)

= \frac{8 + 10 10}{52}

Faktorisiere

8 + 1010 : 2 (4 + 510)

8 + 1010

Schreibe um

= 2 \cdot 4 + 2 \cdot 510

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (4 + 510)

= \frac{2 ( 4 + 5 10 )}{52}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{4 + 5 10}{26}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 4 + 5 10}{26}, u = \frac{4 + 5 10}{26}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 4 + 5 10}{26}, cos (x) = \frac{4 + 5 10}{26}

cos (x) = - \frac{- 4 + 5 10}{26}, cos (x) = \frac{4 + 5 10}{26}

cos (x) = - \frac{- 4 + 5 10}{26} : x = arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 4 + 5 10}{26}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 4 + 5 10}{26}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 4 + 5 10}{26}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{4 + 5 10}{26} : x = arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{4 + 5 10}{26}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{4 + 5 10}{26}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{4 + 5 10}{26}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn

x = arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn, x = arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

5 sin (x) = cos (x) - 4

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 π 1

5 sin (x) = cos (x) - 4

ein, um zu lösen

5 sin (arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 π 1) = cos (arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 π 1) - 4

Fasse zusammen

4.45428 \dots = - 4.45428 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 π 1

5 sin (x) = cos (x) - 4

ein, um zu lösen

5 sin (- arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 π 1) = cos (- arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 π 1) - 4

Fasse zusammen

- 4.45428 \dots = - 4.45428 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 π 1

5 sin (x) = cos (x) - 4

ein, um zu lösen

5 sin (arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 π 1) = cos (arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 π 1) - 4

Fasse zusammen

3.23802 \dots = - 3.23802 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 π 1

5 sin (x) = cos (x) - 4

ein, um zu lösen

5 sin (2 π - arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 π 1) = cos (2 π - arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 π 1) - 4

Fasse zusammen

- 3.23802 \dots = - 3.23802 \dots

\Rightarrow Wahr

x = - arccos (- \frac{- 4 + 5 10}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4 + 5 10}{26}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.04236 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.70443 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-21tan(x)+3sqrt(3)=-3(sqrt(3)+tan(x))

- 21 tan (x) + 33 = - 3 (3 + tan (x))

tan(y)=-1

tan (y) = - 1

tan(x)= 12/4

tan (x) = \frac{12}{4}

1-sqrt(2)cos(θ)=0

1 - 2 cos (θ) = 0

sqrt(3)tan(3x)-1=0,0<= x<= 2pi

3 tan (3 x) - 1 = 0, 0 \leq x \leq 2 π