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Beliebt Trigonometrie >

7sin(x)=cos(x)-3

Lösung

7 sin (x) = cos (x) - 3

Lösung

x = - 2.56154 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.29625 \dots + 2 πn

Grad

x = - 146.76580 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 343.02601 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

7 sin (x) = cos (x) - 3

Quadriere beide Seiten

(7 sin (x))^{2} = (cos (x) - 3)^{2}

Subtrahiere

(cos (x) - 3)^{2}

von beiden Seiten

49 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) + 6 cos (x) - 9 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 9 - cos^{2} (x) + 49 sin^{2} (x) + 6 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - cos^{2} (x) + 49 (1 - cos^{2} (x)) + 6 cos (x)

Vereinfache

- 9 - cos^{2} (x) + 49 (1 - cos^{2} (x)) + 6 cos (x) : 6 cos (x) - 50 cos^{2} (x) + 40

- 9 - cos^{2} (x) + 49 (1 - cos^{2} (x)) + 6 cos (x)

Multipliziere aus

49 (1 - cos^{2} (x)) : 49 - 49 cos^{2} (x)

49 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 49, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 49 \cdot 1 - 49 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

49 \cdot 1 = 49

= 49 - 49 cos^{2} (x)

= - 9 - cos^{2} (x) + 49 - 49 cos^{2} (x) + 6 cos (x)

Vereinfache

- 9 - cos^{2} (x) + 49 - 49 cos^{2} (x) + 6 cos (x) : 6 cos (x) - 50 cos^{2} (x) + 40

- 9 - cos^{2} (x) + 49 - 49 cos^{2} (x) + 6 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) - 49 cos^{2} (x) + 6 cos (x) - 9 + 49

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - 49 cos^{2} (x) = - 50 cos^{2} (x)

= - 50 cos^{2} (x) + 6 cos (x) - 9 + 49

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 9 + 49 = 40

= 6 cos (x) - 50 cos^{2} (x) + 40

= 6 cos (x) - 50 cos^{2} (x) + 40

= 6 cos (x) - 50 cos^{2} (x) + 40

40 - 50 cos^{2} (x) + 6 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

40 - 50 cos^{2} (x) + 6 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

40 - 50 u^{2} + 6 u = 0

40 - 50 u^{2} + 6 u = 0 : u = - \frac{- 3 + 7 41}{50}, u = \frac{3 + 7 41}{50}

40 - 50 u^{2} + 6 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 50 u^{2} + 6 u + 40 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 50 u^{2} + 6 u + 40 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 50, b = 6, c = 40

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 50 ) \cdot 40}{2 ( - 50 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 50 ) \cdot 40}{2 ( - 50 )}

6^{2} - 4 (- 50) \cdot 40 = 1441

6^{2} - 4 (- 50) \cdot 40

Wende Regel an

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 50 \cdot 40

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 50 \cdot 40 = 8000

= 6^{2} + 8000

6^{2} = 36

= 36 + 8000

Addiere die Zahlen:

36 + 8000 = 8036

= 8036

Primfaktorzerlegung von

8036 : 2^{2} \cdot 7^{2} \cdot 41

8036

8036

ist durch

28036 = 4018 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4018

4018

ist durch

24018 = 2009 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2009

2009

ist durch

72009 = 287 \cdot 7

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 287

287

ist durch

7287 = 41 \cdot 7

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 41

2, 7, 41

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 41

= 2^{2} \cdot 7^{2} \cdot 41

= 2^{2} \cdot 7^{2} \cdot 41

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 41 2^{2} 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 241 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 2 \cdot 741

Fasse zusammen

= 1441

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 14 41}{2 ( - 50 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 + 14 41}{2 ( - 50 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 14 41}{2 ( - 50 )}

u = \frac{- 6 + 14 41}{2 ( - 50 )} : - \frac{- 3 + 7 41}{50}

\frac{- 6 + 14 41}{2 ( - 50 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 14 41}{- 2 \cdot 50}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 50 = 100

= \frac{- 6 + 14 41}{- 100}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 6 + 14 41}{100}

Streiche

\frac{- 6 + 14 41}{100} : \frac{7 41 - 3}{50}

\frac{- 6 + 14 41}{100}

Faktorisiere

- 6 + 1441 : 2 (- 3 + 741)

- 6 + 1441

Schreibe um

= - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 741

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 3 + 741)

= \frac{2 ( - 3 + 7 41 )}{100}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 3 + 7 41}{50}

= - \frac{7 41 - 3}{50}

= - \frac{- 3 + 7 41}{50}

u = \frac{- 6 - 14 41}{2 ( - 50 )} : \frac{3 + 7 41}{50}

\frac{- 6 - 14 41}{2 ( - 50 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 14 41}{- 2 \cdot 50}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 50 = 100

= \frac{- 6 - 14 41}{- 100}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 6 - 1441 = - (6 + 1441)

= \frac{6 + 14 41}{100}

Faktorisiere

6 + 1441 : 2 (3 + 741)

6 + 1441

Schreibe um

= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 741

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 + 741)

= \frac{2 ( 3 + 7 41 )}{100}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 + 7 41}{50}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 3 + 7 41}{50}, u = \frac{3 + 7 41}{50}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 3 + 7 41}{50}, cos (x) = \frac{3 + 7 41}{50}

cos (x) = - \frac{- 3 + 7 41}{50}, cos (x) = \frac{3 + 7 41}{50}

cos (x) = - \frac{- 3 + 7 41}{50} : x = arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 3 + 7 41}{50}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 3 + 7 41}{50}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 3 + 7 41}{50}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 + 7 41}{50} : x = arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 + 7 41}{50}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{3 + 7 41}{50}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{3 + 7 41}{50}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn, x = arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

7 sin (x) = cos (x) - 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 π 1

7 sin (x) = cos (x) - 3

ein, um zu lösen

7 sin (arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 π 1) = cos (arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 π 1) - 3

Fasse zusammen

3.83643 \dots = - 3.83643 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 π 1

7 sin (x) = cos (x) - 3

ein, um zu lösen

7 sin (- arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 π 1) = cos (- arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 π 1) - 3

Fasse zusammen

- 3.83643 \dots = - 3.83643 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 π 1

7 sin (x) = cos (x) - 3

ein, um zu lösen

7 sin (arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 π 1) = cos (arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 π 1) - 3

Fasse zusammen

2.04356 \dots = - 2.04356 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 π 1

7 sin (x) = cos (x) - 3

ein, um zu lösen

7 sin (2 π - arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 π 1) = cos (2 π - arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 π 1) - 3

Fasse zusammen

- 2.04356 \dots = - 2.04356 \dots

\Rightarrow Wahr

x = - arccos (- \frac{- 3 + 7 41}{50}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 + 7 41}{50}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.56154 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.29625 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(a)= 3/4

sin (a) = \frac{3}{4}

sin(7x)+sin(x)=0,0<= x<= 2pi

sin (7 x) + sin (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π

solvefor t,-2sin(t)+2cos(2t)=0

so l v e f or t, - 2 sin (t) + 2 cos (2 t) = 0

2cos(x)-sqrt(3)sin(x)=1

2 cos (x) - 3 sin (x) = 1

cos^2(x)=tan(x)

cos^{2} (x) = tan (x)