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Beliebt Trigonometrie >

arcsin(3x)+arcsin(x)=60

Lösung

arcsin (3 x) + arcsin (x) = 6 0^{\circ}

Lösung

x = \frac{3}{2 13}

Schritte zur Lösung

arcsin (3 x) + arcsin (x) = 6 0^{\circ}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

arcsin (3 x) + arcsin (x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

arcsin (s) + arcsin (t) = arcsin (s 1 - t^{2} + t 1 - s^{2})

= arcsin (3 x 1 - x^{2} + x 1 - (3 x)^{2})

arcsin (3 x 1 - x^{2} + x 1 - (3 x)^{2}) = 6 0^{\circ}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

arcsin (3 x 1 - x^{2} + x 1 - (3 x)^{2}) = 6 0^{\circ}

arcsin (x) = a \Rightarrow x = sin (a)

3 x 1 - x^{2} + x 1 - (3 x)^{2} = sin (6 0^{\circ})

sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

sin (6 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

sin (6 0^{\circ})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

3 x 1 - x^{2} + x 1 - (3 x)^{2} = \frac{3}{2}

3 x 1 - x^{2} + x 1 - (3 x)^{2} = \frac{3}{2}

Löse

3 x 1 - x^{2} + x 1 - (3 x)^{2} = \frac{3}{2} : x = \frac{3}{2 13}

3 x 1 - x^{2} + x 1 - (3 x)^{2} = \frac{3}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

3 x 1 - x^{2} \cdot 2 + x 1 - (3 x)^{2} \cdot 2 = \frac{3}{2} \cdot 2

Vereinfache

6 1 - x^{2} x + 2 1 - (3 x)^{2} x = 3

Quadratwurzeln entfernen

6 1 - x^{2} x + 2 1 - (3 x)^{2} x = 3

Subtrahiere

2 1 - (3 x)^{2} x

von beiden Seiten

6 1 - x^{2} x + 2 1 - (3 x)^{2} x - 2 1 - (3 x)^{2} x = 3 - 2 1 - (3 x)^{2} x

Vereinfache

6 1 - x^{2} x = 3 - 2 1 - (3 x)^{2} x

Quadriere beide Seiten:

36 x^{2} - 36 x^{4} = 3 - 43 x 1 - 9 x^{2} + 4 x^{2} - 36 x^{4}

6 1 - x^{2} x + 2 1 - (3 x)^{2} x = 3

(6 1 - x^{2} x)^{2} = (3 - 2 1 - (3 x)^{2} x)^{2}

Schreibe

(6 1 - x^{2} x)^{2}

um:

36 x^{2} - 36 x^{4}

(6 1 - x^{2} x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 6^{2} x^{2} (1 - x^{2})^{2}

(1 - x^{2})^{2} : 1 - x^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - x^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - x^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 - x^{2}

= 6^{2} (1 - x^{2}) x^{2}

6^{2} = 36

= 36 (1 - x^{2}) x^{2}

Schreibe

36 (1 - x^{2}) x^{2}

um:

36 x^{2} - 36 x^{4}

36 (1 - x^{2}) x^{2}

= 36 x^{2} (1 - x^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 36 x^{2}, b = 1, c = x^{2}

= 36 x^{2} \cdot 1 - 36 x^{2} x^{2}

= 36 \cdot 1 \cdot x^{2} - 36 x^{2} x^{2}

Vereinfache

36 \cdot 1 \cdot x^{2} - 36 x^{2} x^{2} : 36 x^{2} - 36 x^{4}

36 \cdot 1 \cdot x^{2} - 36 x^{2} x^{2}

36 \cdot 1 \cdot x^{2} = 36 x^{2}

36 \cdot 1 \cdot x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 1 = 36

= 36 x^{2}

36 x^{2} x^{2} = 36 x^{4}

36 x^{2} x^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x^{2} = x^{2 + 2}

= 36 x^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= 36 x^{4}

= 36 x^{2} - 36 x^{4}

= 36 x^{2} - 36 x^{4}

= 36 x^{2} - 36 x^{4}

Schreibe

(3 - 2 1 - (3 x)^{2} x)^{2}

um:

3 - 43 x 1 - 9 x^{2} + 4 x^{2} - 36 x^{4}

(3 - 2 1 - (3 x)^{2} x)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 3, b = 2 1 - (3 x)^{2} x

= (3)^{2} - 23 \cdot 2 1 - (3 x)^{2} x + (2 1 - (3 x)^{2} x)^{2}

Vereinfache

(3)^{2} - 23 \cdot 2 1 - (3 x)^{2} x + (2 1 - (3 x)^{2} x)^{2} : 3 - 43 1 - (3 x)^{2} x + 41 - (3 x)^{2} x^{2}

(3)^{2} - 23 \cdot 2 1 - (3 x)^{2} x + (2 1 - (3 x)^{2} x)^{2}

(3)^{2} = 3

(3)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

23 \cdot 2 1 - (3 x)^{2} x = 43 1 - (3 x)^{2} x

23 \cdot 2 1 - (3 x)^{2} x

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 43 1 - (3 x)^{2} x

(2 1 - (3 x)^{2} x)^{2} = 41 - (3 x)^{2} x^{2}

(2 1 - (3 x)^{2} x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} x^{2} (1 - (3 x)^{2})^{2}

(1 - (3 x)^{2})^{2} : 1 - (3 x)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - (3 x)^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - (3 x)^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 - (3 x)^{2}

= 2^{2} (1 - (3 x)^{2}) x^{2}

2^{2} = 4

= 4 (1 - (3 x)^{2}) x^{2}

= 3 - 43 1 - (3 x)^{2} x + 4 (1 - (3 x)^{2}) x^{2}

= 3 - 43 1 - (3 x)^{2} x + 4 (1 - (3 x)^{2}) x^{2}

Schreibe

3 - 43 1 - (3 x)^{2} x + 4 (1 - (3 x)^{2}) x^{2}

um:

3 - 43 x 1 - 9 x^{2} + 4 x^{2} - 36 x^{4}

3 - 43 1 - (3 x)^{2} x + 4 (1 - (3 x)^{2}) x^{2}

1 - (3 x)^{2} = 1 - 9 x^{2}

1 - (3 x)^{2}

(3 x)^{2} = 9 x^{2}

(3 x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3^{2} x^{2}

3^{2} = 9

= 9 x^{2}

= 1 - 9 x^{2}

= 3 - 43 x - 9 x^{2} + 1 + 4 x^{2} (- (3 x)^{2} + 1)

(3 x)^{2} = 9 x^{2}

(3 x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3^{2} x^{2}

3^{2} = 9

= 9 x^{2}

= 3 - 43 x - 9 x^{2} + 1 + 4 x^{2} (- 9 x^{2} + 1)

= 3 - 43 x 1 - 9 x^{2} + 4 x^{2} (1 - 9 x^{2})

Multipliziere aus

4 x^{2} (1 - 9 x^{2}) : 4 x^{2} - 36 x^{4}

4 x^{2} (1 - 9 x^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4 x^{2}, b = 1, c = 9 x^{2}

= 4 x^{2} \cdot 1 - 4 x^{2} \cdot 9 x^{2}

= 4 \cdot 1 \cdot x^{2} - 4 \cdot 9 x^{2} x^{2}

Vereinfache

4 \cdot 1 \cdot x^{2} - 4 \cdot 9 x^{2} x^{2} : 4 x^{2} - 36 x^{4}

4 \cdot 1 \cdot x^{2} - 4 \cdot 9 x^{2} x^{2}

4 \cdot 1 \cdot x^{2} = 4 x^{2}

4 \cdot 1 \cdot x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 x^{2}

4 \cdot 9 x^{2} x^{2} = 36 x^{4}

4 \cdot 9 x^{2} x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 9 = 36

= 36 x^{2} x^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x^{2} = x^{2 + 2}

= 36 x^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= 36 x^{4}

= 4 x^{2} - 36 x^{4}

= 4 x^{2} - 36 x^{4}

= 3 - 43 1 - 9 x^{2} x + 4 x^{2} - 36 x^{4}

= 3 - 43 x 1 - 9 x^{2} + 4 x^{2} - 36 x^{4}

= 3 - 43 x 1 - 9 x^{2} + 4 x^{2} - 36 x^{4}

36 x^{2} - 36 x^{4} = 3 - 43 x 1 - 9 x^{2} + 4 x^{2} - 36 x^{4}

36 x^{2} - 36 x^{4} = 3 - 43 x 1 - 9 x^{2} + 4 x^{2} - 36 x^{4}

Subtrahiere

4 x^{2} - 36 x^{4}

von beiden Seiten

36 x^{2} - 36 x^{4} - (4 x^{2} - 36 x^{4}) = 3 - 43 x 1 - 9 x^{2} + 4 x^{2} - 36 x^{4} - (4 x^{2} - 36 x^{4})

Vereinfache

32 x^{2} = - 43 1 - 9 x^{2} x + 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

32 x^{2} - 3 = - 43 1 - 9 x^{2} x + 3 - 3

Vereinfache

32 x^{2} - 3 = - 43 1 - 9 x^{2} x

Quadriere beide Seiten:

1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9 = 48 x^{2} - 432 x^{4}

36 x^{2} - 36 x^{4} = 3 - 43 x 1 - 9 x^{2} + 4 x^{2} - 36 x^{4}

(32 x^{2} - 3)^{2} = (- 43 1 - 9 x^{2} x)^{2}

Schreibe

(32 x^{2} - 3)^{2}

um:

1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9

(32 x^{2} - 3)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 32 x^{2}, b = 3

= (32 x^{2})^{2} - 2 \cdot 32 x^{2} \cdot 3 + 3^{2}

Vereinfache

(32 x^{2})^{2} - 2 \cdot 32 x^{2} \cdot 3 + 3^{2} : 1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9

(32 x^{2})^{2} - 2 \cdot 32 x^{2} \cdot 3 + 3^{2}

(32 x^{2})^{2} = 1024 x^{4}

(32 x^{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3 2^{2} (x^{2})^{2}

(x^{2})^{2} : x^{4}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= x^{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= x^{4}

= 3 2^{2} x^{4}

3 2^{2} = 1024

= 1024 x^{4}

2 \cdot 32 x^{2} \cdot 3 = 192 x^{2}

2 \cdot 32 x^{2} \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 32 \cdot 3 = 192

= 192 x^{2}

3^{2} = 9

3^{2}

3^{2} = 9

= 9

= 1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9

= 1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9

Schreibe

(- 43 1 - 9 x^{2} x)^{2}

um:

48 x^{2} - 432 x^{4}

(- 43 1 - 9 x^{2} x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 43 1 - 9 x^{2} x)^{2} = (43 1 - 9 x^{2} x)^{2}

= (43 1 - 9 x^{2} x)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (3)^{2} x^{2} (1 - 9 x^{2})^{2}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= 4^{2} \cdot 3 (1 - 9 x^{2})^{2} x^{2}

(1 - 9 x^{2})^{2} : 1 - 9 x^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - 9 x^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - 9 x^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 - 9 x^{2}

= 4^{2} \cdot 3 (1 - 9 x^{2}) x^{2}

Fasse zusammen

= 48 (1 - 9 x^{2}) x^{2}

Schreibe

48 (1 - 9 x^{2}) x^{2}

um:

48 x^{2} - 432 x^{4}

48 (1 - 9 x^{2}) x^{2}

= 48 x^{2} (1 - 9 x^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 48 x^{2}, b = 1, c = 9 x^{2}

= 48 x^{2} \cdot 1 - 48 x^{2} \cdot 9 x^{2}

= 48 \cdot 1 \cdot x^{2} - 48 \cdot 9 x^{2} x^{2}

Vereinfache

48 \cdot 1 \cdot x^{2} - 48 \cdot 9 x^{2} x^{2} : 48 x^{2} - 432 x^{4}

48 \cdot 1 \cdot x^{2} - 48 \cdot 9 x^{2} x^{2}

48 \cdot 1 \cdot x^{2} = 48 x^{2}

48 \cdot 1 \cdot x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

48 \cdot 1 = 48

= 48 x^{2}

48 \cdot 9 x^{2} x^{2} = 432 x^{4}

48 \cdot 9 x^{2} x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

48 \cdot 9 = 432

= 432 x^{2} x^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

x^{2} x^{2} = x^{2 + 2}

= 432 x^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= 432 x^{4}

= 48 x^{2} - 432 x^{4}

= 48 x^{2} - 432 x^{4}

= 48 x^{2} - 432 x^{4}

1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9 = 48 x^{2} - 432 x^{4}

1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9 = 48 x^{2} - 432 x^{4}

1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9 = 48 x^{2} - 432 x^{4}

Löse

1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9 = 48 x^{2} - 432 x^{4} : x = \frac{3}{2 7}, x = - \frac{3}{2 7}, x = \frac{3}{2 13}, x = - \frac{3}{2 13}

1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9 = 48 x^{2} - 432 x^{4}

Verschiebe

432 x^{4}

auf die linke Seite

1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9 = 48 x^{2} - 432 x^{4}

Füge

432 x^{4}

zu beiden Seiten hinzu

1024 x^{4} - 192 x^{2} + 9 + 432 x^{4} = 48 x^{2} - 432 x^{4} + 432 x^{4}

Vereinfache

1456 x^{4} - 192 x^{2} + 9 = 48 x^{2}

1456 x^{4} - 192 x^{2} + 9 = 48 x^{2}

Verschiebe

48 x^{2}

auf die linke Seite

1456 x^{4} - 192 x^{2} + 9 = 48 x^{2}

Subtrahiere

48 x^{2}

von beiden Seiten

1456 x^{4} - 192 x^{2} + 9 - 48 x^{2} = 48 x^{2} - 48 x^{2}

Vereinfache

1456 x^{4} - 240 x^{2} + 9 = 0

1456 x^{4} - 240 x^{2} + 9 = 0

Teile beide Seiten durch

1456

\frac{1456 x ^{4}}{1456} - \frac{240 x ^{2}}{1456} + \frac{9}{1456} = \frac{0}{1456}

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

x^{4} - \frac{15 x ^{2}}{91} + \frac{9}{1456} = 0

Schreibe die Gleichung um mit

u = x^{2}

und

u^{2} = x^{4}

u^{2} - \frac{15 u}{91} + \frac{9}{1456} = 0

Löse

u^{2} - \frac{15 u}{91} + \frac{9}{1456} = 0 : u = \frac{3}{28}, u = \frac{3}{52}

u^{2} - \frac{15 u}{91} + \frac{9}{1456} = 0

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

91, 1456 : 1456

91, 1456

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

91 : 7 \cdot 13

91

91

ist durch

791 = 13 \cdot 7

teilbar

= 7 \cdot 13

7, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 7 \cdot 13

Primfaktorzerlegung von

1456 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 13

1456

1456

ist durch

21456 = 728 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 728

728

ist durch

2728 = 364 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 364

364

ist durch

2364 = 182 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 182

182

ist durch

2182 = 91 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 91

91

ist durch

791 = 13 \cdot 7

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 13

2, 7, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 13

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

91

oder

1456

vorkommt

= 7 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1456

= 1456

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

1456

u^{2} \cdot 1456 - \frac{15 u}{91} \cdot 1456 + \frac{9}{1456} \cdot 1456 = 0 \cdot 1456

Vereinfache

1456 u^{2} - 240 u + 9 = 0

Teile beide Seiten durch

1456

\frac{1456 u ^{2}}{1456} - \frac{240 u}{1456} + \frac{9}{1456} = \frac{0}{1456}

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - \frac{15 u}{91} + \frac{9}{1456} = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - \frac{15 u}{91} + \frac{9}{1456} = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - \frac{15}{91}, c = \frac{9}{1456}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{15}{91} ) \pm ( - \frac{15}{91} ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \frac{9}{1456}}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{15}{91} ) \pm ( - \frac{15}{91} ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \frac{9}{1456}}{2 \cdot 1}

(- \frac{15}{91})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \frac{9}{1456} = \frac{9}{182}

(- \frac{15}{91})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \frac{9}{1456}

(- \frac{15}{91})^{2} = \frac{1 5 ^{2}}{9 1 ^{2}}

(- \frac{15}{91})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{15}{91})^{2} = (\frac{15}{91})^{2}

= (\frac{15}{91})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 5 ^{2}}{9 1 ^{2}}

4 \cdot 1 \cdot \frac{9}{1456} = \frac{9}{364}

4 \cdot 1 \cdot \frac{9}{1456}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{9 \cdot 4}{1456}

\frac{9 \cdot 4}{1456} = \frac{9}{364}

\frac{9 \cdot 4}{1456}

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 4 = 36

= \frac{36}{1456}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{9}{364}

= 1 \cdot \frac{9}{364}

Multipliziere:

1 \cdot \frac{9}{364} = \frac{9}{364}

= \frac{9}{364}

= \frac{1 5 ^{2}}{9 1 ^{2}} - \frac{9}{364}

\frac{1 5 ^{2}}{9 1 ^{2}} = \frac{225}{8281}

\frac{1 5 ^{2}}{9 1 ^{2}}

1 5^{2} = 225

= \frac{225}{9 1 ^{2}}

9 1^{2} = 8281

= \frac{225}{8281}

= \frac{225}{8281} - \frac{9}{364}

Füge

\frac{225}{8281} - \frac{9}{364}

zusammen:

\frac{81}{33124}

\frac{225}{8281} - \frac{9}{364}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

8281, 364 : 33124

8281, 364

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

8281 : 7 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 13

8281

8281

ist durch

78281 = 1183 \cdot 7

teilbar

= 7 \cdot 1183

1183

ist durch

71183 = 169 \cdot 7

teilbar

= 7 \cdot 7 \cdot 169

169

ist durch

13169 = 13 \cdot 13

teilbar

= 7 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 13

7, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 7 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 13

Primfaktorzerlegung von

364 : 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 13

364

364

ist durch

2364 = 182 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 182

182

ist durch

2182 = 91 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 91

91

ist durch

791 = 13 \cdot 7

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 13

2, 7, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 13

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

8281

oder

364

vorkommt

= 7 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 2 = 33124

= 33124

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

33124

Für

\frac{225}{8281} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

4

\frac{225}{8281} = \frac{225 \cdot 4}{8281 \cdot 4} = \frac{900}{33124}

Für

\frac{9}{364} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

91

\frac{9}{364} = \frac{9 \cdot 91}{364 \cdot 91} = \frac{819}{33124}

= \frac{900}{33124} - \frac{819}{33124}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{900 - 819}{33124}

Subtrahiere die Zahlen:

900 - 819 = 81

= \frac{81}{33124}

= \frac{81}{33124}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{81}{33124}

33124 = 182

33124

Faktorisiere die Zahl:

33124 = 18 2^{2}

= 18 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

18 2^{2} = 182

= 182

= \frac{81}{182}

81 = 9

81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

= \frac{9}{182}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{15}{91} ) \pm \frac{9}{182}}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - \frac{15}{91} ) + \frac{9}{182}}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - \frac{15}{91} ) - \frac{9}{182}}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - \frac{15}{91} ) + \frac{9}{182}}{2 \cdot 1} : \frac{3}{28}

\frac{- ( - \frac{15}{91} ) + \frac{9}{182}}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{\frac{15}{91} + \frac{9}{182}}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{\frac{15}{91} + \frac{9}{182}}{2}

Füge

\frac{15}{91} + \frac{9}{182}

zusammen:

\frac{3}{14}

\frac{15}{91} + \frac{9}{182}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

91, 182 : 182

91, 182

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

91 : 7 \cdot 13

91

91

ist durch

791 = 13 \cdot 7

teilbar

= 7 \cdot 13

7, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 7 \cdot 13

Primfaktorzerlegung von

182 : 2 \cdot 7 \cdot 13

182

182

ist durch

2182 = 91 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 91

91

ist durch

791 = 13 \cdot 7

teilbar

= 2 \cdot 7 \cdot 13

2, 7, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 7 \cdot 13

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

91

oder

182

vorkommt

= 7 \cdot 13 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 13 \cdot 2 = 182

= 182

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

182

Für

\frac{15}{91} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{15}{91} = \frac{15 \cdot 2}{91 \cdot 2} = \frac{30}{182}

= \frac{30}{182} + \frac{9}{182}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{30 + 9}{182}

Addiere die Zahlen:

30 + 9 = 39

= \frac{39}{182}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

13

= \frac{3}{14}

= \frac{\frac{3}{14}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{14 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

14 \cdot 2 = 28

= \frac{3}{28}

u = \frac{- ( - \frac{15}{91} ) - \frac{9}{182}}{2 \cdot 1} : \frac{3}{52}

\frac{- ( - \frac{15}{91} ) - \frac{9}{182}}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{\frac{15}{91} - \frac{9}{182}}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{\frac{15}{91} - \frac{9}{182}}{2}

Füge

\frac{15}{91} - \frac{9}{182}

zusammen:

\frac{3}{26}

\frac{15}{91} - \frac{9}{182}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

91, 182 : 182

91, 182

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

91 : 7 \cdot 13

91

91

ist durch

791 = 13 \cdot 7

teilbar

= 7 \cdot 13

7, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 7 \cdot 13

Primfaktorzerlegung von

182 : 2 \cdot 7 \cdot 13

182

182

ist durch

2182 = 91 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 91

91

ist durch

791 = 13 \cdot 7

teilbar

= 2 \cdot 7 \cdot 13

2, 7, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 7 \cdot 13

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

91

oder

182

vorkommt

= 7 \cdot 13 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 13 \cdot 2 = 182

= 182

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

182

Für

\frac{15}{91} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{15}{91} = \frac{15 \cdot 2}{91 \cdot 2} = \frac{30}{182}

= \frac{30}{182} - \frac{9}{182}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{30 - 9}{182}

Subtrahiere die Zahlen:

30 - 9 = 21

= \frac{21}{182}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

7

= \frac{3}{26}

= \frac{\frac{3}{26}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{26 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

26 \cdot 2 = 52

= \frac{3}{52}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{3}{28}, u = \frac{3}{52}

u = \frac{3}{28}, u = \frac{3}{52}

Setze

u = x^{2} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

x^{2} = \frac{3}{28} : x = \frac{3}{2 7}, x = - \frac{3}{2 7}

x^{2} = \frac{3}{28}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

x = \frac{3}{28}, x = - \frac{3}{28}

\frac{3}{28} = \frac{3}{2 7}

\frac{3}{28}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{28}

28 = 27

28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

ab = a b, a \geq 0, b \geq 0

2^{2} \cdot 7 = 2^{2} 7

= 2^{2} 7

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 27

= \frac{3}{2 7}

- \frac{3}{28} = - \frac{3}{2 7}

- \frac{3}{28}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{3}{28}

28 = 27

28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

ab = a b, a \geq 0, b \geq 0

2^{2} \cdot 7 = 2^{2} 7

= 2^{2} 7

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 27

= - \frac{3}{2 7}

x = \frac{3}{2 7}, x = - \frac{3}{2 7}

Löse

x^{2} = \frac{3}{52} : x = \frac{3}{2 13}, x = - \frac{3}{2 13}

x^{2} = \frac{3}{52}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

x = \frac{3}{52}, x = - \frac{3}{52}

\frac{3}{52} = \frac{3}{2 13}

\frac{3}{52}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{52}

52 = 213

52

Primfaktorzerlegung von

52 : 2^{2} \cdot 13

52

52

ist durch

252 = 26 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 26

26

ist durch

226 = 13 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

ab = a b, a \geq 0, b \geq 0

2^{2} \cdot 13 = 2^{2} 13

= 2^{2} 13

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 213

= \frac{3}{2 13}

- \frac{3}{52} = - \frac{3}{2 13}

- \frac{3}{52}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{3}{52}

52 = 213

52

Primfaktorzerlegung von

52 : 2^{2} \cdot 13

52

52

ist durch

252 = 26 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 26

26

ist durch

226 = 13 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

ab = a b, a \geq 0, b \geq 0

2^{2} \cdot 13 = 2^{2} 13

= 2^{2} 13

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 213

= - \frac{3}{2 13}

x = \frac{3}{2 13}, x = - \frac{3}{2 13}

Die Lösungen sind

x = \frac{3}{2 7}, x = - \frac{3}{2 7}, x = \frac{3}{2 13}, x = - \frac{3}{2 13}

x = \frac{3}{2 7}, x = - \frac{3}{2 7}, x = \frac{3}{2 13}, x = - \frac{3}{2 13}

Überprüfe die Lösungen:

x = \frac{3}{2 7}

Falsch

, x = - \frac{3}{2 7}

Falsch

, x = \frac{3}{2 13}

Wahr

, x = - \frac{3}{2 13}

Falsch

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 x 1 - x^{2} + x 1 - (3 x)^{2} = \frac{3}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

x = \frac{3}{2 7} :

Falsch

3 (\frac{3}{2 7}) 1 - (\frac{3}{2 7})^{2} + (\frac{3}{2 7}) 1 - (3 (\frac{3}{2 7}))^{2} = \frac{3}{2}

3 (\frac{3}{2 7}) 1 - (\frac{3}{2 7})^{2} + (\frac{3}{2 7}) 1 - (3 (\frac{3}{2 7}))^{2} = \frac{4 3}{7}

3 (\frac{3}{2 7}) 1 - (\frac{3}{2 7})^{2} + (\frac{3}{2 7}) 1 - (3 (\frac{3}{2 7}))^{2}

Entferne die Klammern:

(a) = a

= 3 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (\frac{3}{2 7})^{2} + \frac{3}{2 7} 1 - (3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

3 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (\frac{3}{2 7})^{2} = \frac{15 3}{28}

3 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (\frac{3}{2 7})^{2}

1 - (\frac{3}{2 7})^{2} = \frac{5}{2 7}

1 - (\frac{3}{2 7})^{2}

(\frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{28}

(\frac{3}{2 7})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 2 7 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(27)^{2} = 2^{2} (7)^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

(7)^{2} : 7

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (7^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 7

= \frac{3}{2 ^{2} \cdot 7}

2^{2} \cdot 7 = 28

2^{2} \cdot 7

2^{2} = 4

= 4 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 = 28

= 28

= \frac{3}{28}

= 1 - \frac{3}{28}

Füge

1 - \frac{3}{28}

zusammen:

\frac{25}{28}

1 - \frac{3}{28}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 28}{28}

= \frac{1 \cdot 28}{28} - \frac{3}{28}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 28 - 3}{28}

1 \cdot 28 - 3 = 25

1 \cdot 28 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 28 = 28

= 28 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

28 - 3 = 25

= 25

= \frac{25}{28}

= \frac{25}{28}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{25}{28}

28 = 27

28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 27

= \frac{25}{2 7}

25 = 5

25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

= \frac{5}{2 7}

= 3 \cdot \frac{5}{2 7} \cdot \frac{3}{2 7}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{3 \cdot 5 \cdot 3}{2 7 \cdot 2 7}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 3 = 15

= \frac{15 3}{2 \cdot 2 7 7}

27 \cdot 27 = 28

27 \cdot 27

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 477

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 4 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 = 28

= 28

= \frac{15 3}{28}

\frac{3}{2 7} 1 - (3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{28}

\frac{3}{2 7} 1 - (3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

1 - (3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{1}{2 7}

1 - (3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

(3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{27}{28}

(3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

Multipliziere

3 \cdot \frac{3}{2 7} : \frac{3 3}{2 7}

3 \cdot \frac{3}{2 7}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 3}{2 7}

= (\frac{3 \cdot 3}{2 7})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 3 ) ^{2}}{( 2 7 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(27)^{2} = 2^{2} (7)^{2}

= \frac{( 3 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(33)^{2} = 3^{2} (3)^{2}

= \frac{3 ^{2} ( 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

(7)^{2} : 7

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (7^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 7

= \frac{( 3 ) ^{2} \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 7}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3 \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 7}

3 \cdot 3^{2} = 3^{3}

3 \cdot 3^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

3 \cdot 3^{2} = 3^{1 + 2}

= 3^{1 + 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= 3^{3}

= \frac{3 ^{3}}{2 ^{2} \cdot 7}

3^{3} = 27

= \frac{27}{2 ^{2} \cdot 7}

2^{2} \cdot 7 = 28

2^{2} \cdot 7

2^{2} = 4

= 4 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 = 28

= 28

= \frac{27}{28}

= 1 - \frac{27}{28}

Füge

1 - \frac{27}{28}

zusammen:

\frac{1}{28}

1 - \frac{27}{28}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 28}{28}

= \frac{1 \cdot 28}{28} - \frac{27}{28}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 28 - 27}{28}

1 \cdot 28 - 27 = 1

1 \cdot 28 - 27

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 28 = 28

= 28 - 27

Subtrahiere die Zahlen:

28 - 27 = 1

= 1

= \frac{1}{28}

= \frac{1}{28}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{28}

28 = 27

28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 27

= \frac{1}{2 7}

Wende Regel an

1 = 1

= \frac{1}{2 7}

= \frac{1}{2 7} \cdot \frac{3}{2 7}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{3 \cdot 1}{2 7 \cdot 2 7}

Multipliziere:

3 \cdot 1 = 3

= \frac{3}{2 \cdot 2 7 7}

27 \cdot 27 = 28

27 \cdot 27

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 477

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 4 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 = 28

= 28

= \frac{3}{28}

= \frac{15 3}{28} + \frac{3}{28}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{15 3 + 3}{28}

Addiere gleiche Elemente:

153 + 3 = 163

= \frac{16 3}{28}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{4 3}{7}

\frac{4 3}{7} = \frac{3}{2}

Falsch

Setze ein

x = - \frac{3}{2 7} :

Falsch

3 (- \frac{3}{2 7}) 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2} + (- \frac{3}{2 7}) 1 - (3 (- \frac{3}{2 7}))^{2} = \frac{3}{2}

3 (- \frac{3}{2 7}) 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2} + (- \frac{3}{2 7}) 1 - (3 (- \frac{3}{2 7}))^{2} = - \frac{4 3}{7}

3 (- \frac{3}{2 7}) 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2} + (- \frac{3}{2 7}) 1 - (3 (- \frac{3}{2 7}))^{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 3 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2} - \frac{3}{2 7} 1 - (- 3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

3 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{15 3}{28}

3 \cdot \frac{3}{2 7} 1 - (- \frac{3}{2 7})^{2}

1 - (- \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{5}{2 7}

1 - (- \frac{3}{2 7})^{2}

(- \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{28}

(- \frac{3}{2 7})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{3}{2 7})^{2} = (\frac{3}{2 7})^{2}

= (\frac{3}{2 7})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 2 7 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(27)^{2} = 2^{2} (7)^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

(7)^{2} : 7

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (7^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 7

= \frac{3}{2 ^{2} \cdot 7}

2^{2} \cdot 7 = 28

2^{2} \cdot 7

2^{2} = 4

= 4 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 = 28

= 28

= \frac{3}{28}

= 1 - \frac{3}{28}

Füge

1 - \frac{3}{28}

zusammen:

\frac{25}{28}

1 - \frac{3}{28}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 28}{28}

= \frac{1 \cdot 28}{28} - \frac{3}{28}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 28 - 3}{28}

1 \cdot 28 - 3 = 25

1 \cdot 28 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 28 = 28

= 28 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

28 - 3 = 25

= 25

= \frac{25}{28}

= \frac{25}{28}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{25}{28}

28 = 27

28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 27

= \frac{25}{2 7}

25 = 5

25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

= \frac{5}{2 7}

= 3 \cdot \frac{5}{2 7} \cdot \frac{3}{2 7}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{3 \cdot 5 \cdot 3}{2 7 \cdot 2 7}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 3 = 15

= \frac{15 3}{2 \cdot 2 7 7}

27 \cdot 27 = 28

27 \cdot 27

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 477

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 4 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 = 28

= 28

= \frac{15 3}{28}

\frac{3}{2 7} 1 - (- 3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{3}{28}

\frac{3}{2 7} 1 - (- 3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

1 - (- 3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{1}{2 7}

1 - (- 3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

(- 3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2} = \frac{27}{28}

(- 3 \cdot \frac{3}{2 7})^{2}

Multipliziere

- 3 \cdot \frac{3}{2 7} : - \frac{3 3}{2 7}

- 3 \cdot \frac{3}{2 7}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{3 \cdot 3}{2 7}

= (- \frac{3 3}{2 7})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{3 3}{2 7})^{2} = (\frac{3 \cdot 3}{2 7})^{2}

= (\frac{3 \cdot 3}{2 7})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 3 ) ^{2}}{( 2 7 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(27)^{2} = 2^{2} (7)^{2}

= \frac{( 3 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(33)^{2} = 3^{2} (3)^{2}

= \frac{3 ^{2} ( 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 7 ) ^{2}}

(7)^{2} : 7

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (7^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 7

= \frac{( 3 ) ^{2} \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 7}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3 \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 7}

3 \cdot 3^{2} = 3^{3}

3 \cdot 3^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

3 \cdot 3^{2} = 3^{1 + 2}

= 3^{1 + 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= 3^{3}

= \frac{3 ^{3}}{2 ^{2} \cdot 7}

3^{3} = 27

= \frac{27}{2 ^{2} \cdot 7}

2^{2} \cdot 7 = 28

2^{2} \cdot 7

2^{2} = 4

= 4 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 = 28

= 28

= \frac{27}{28}

= 1 - \frac{27}{28}

Füge

1 - \frac{27}{28}

zusammen:

\frac{1}{28}

1 - \frac{27}{28}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 28}{28}

= \frac{1 \cdot 28}{28} - \frac{27}{28}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 28 - 27}{28}

1 \cdot 28 - 27 = 1

1 \cdot 28 - 27

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 28 = 28

= 28 - 27

Subtrahiere die Zahlen:

28 - 27 = 1

= 1

= \frac{1}{28}

= \frac{1}{28}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{28}

28 = 27

28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 27

= \frac{1}{2 7}

Wende Regel an

1 = 1

= \frac{1}{2 7}

= \frac{1}{2 7} \cdot \frac{3}{2 7}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{3 \cdot 1}{2 7 \cdot 2 7}

Multipliziere:

3 \cdot 1 = 3

= \frac{3}{2 \cdot 2 7 7}

27 \cdot 27 = 28

27 \cdot 27

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 477

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 4 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 = 28

= 28

= \frac{3}{28}

= - \frac{15 3}{28} - \frac{3}{28}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 15 3 - 3}{28}

Addiere gleiche Elemente:

- 153 - 3 = - 163

= \frac{- 16 3}{28}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16 3}{28}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{4 3}{7}

- \frac{4 3}{7} = \frac{3}{2}

Falsch

Setze ein

x = \frac{3}{2 13} :

Wahr

3 (\frac{3}{2 13}) 1 - (\frac{3}{2 13})^{2} + (\frac{3}{2 13}) 1 - (3 (\frac{3}{2 13}))^{2} = \frac{3}{2}

3 (\frac{3}{2 13}) 1 - (\frac{3}{2 13})^{2} + (\frac{3}{2 13}) 1 - (3 (\frac{3}{2 13}))^{2} = \frac{3}{2}

3 (\frac{3}{2 13}) 1 - (\frac{3}{2 13})^{2} + (\frac{3}{2 13}) 1 - (3 (\frac{3}{2 13}))^{2}

Entferne die Klammern:

(a) = a

= 3 \cdot \frac{3}{2 13} 1 - (\frac{3}{2 13})^{2} + \frac{3}{2 13} 1 - (3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2}

3 \cdot \frac{3}{2 13} 1 - (\frac{3}{2 13})^{2} = \frac{21 3}{52}

3 \cdot \frac{3}{2 13} 1 - (\frac{3}{2 13})^{2}

1 - (\frac{3}{2 13})^{2} = \frac{7}{2 13}

1 - (\frac{3}{2 13})^{2}

(\frac{3}{2 13})^{2} = \frac{3}{52}

(\frac{3}{2 13})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 2 13 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(213)^{2} = 2^{2} (13)^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 13 ) ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{2 ^{2} ( 13 ) ^{2}}

(13)^{2} : 13

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (1 3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 1 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 13

= \frac{3}{2 ^{2} \cdot 13}

2^{2} \cdot 13 = 52

2^{2} \cdot 13

2^{2} = 4

= 4 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 = 52

= 52

= \frac{3}{52}

= 1 - \frac{3}{52}

Füge

1 - \frac{3}{52}

zusammen:

\frac{49}{52}

1 - \frac{3}{52}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 52}{52}

= \frac{1 \cdot 52}{52} - \frac{3}{52}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 52 - 3}{52}

1 \cdot 52 - 3 = 49

1 \cdot 52 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 52 = 52

= 52 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

52 - 3 = 49

= 49

= \frac{49}{52}

= \frac{49}{52}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{49}{52}

52 = 213

52

Primfaktorzerlegung von

52 : 2^{2} \cdot 13

52

52

ist durch

252 = 26 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 26

26

ist durch

226 = 13 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 13 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 213

= \frac{49}{2 13}

49 = 7

49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

= \frac{7}{2 13}

= 3 \cdot \frac{7}{2 13} \cdot \frac{3}{2 13}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{3 \cdot 7 \cdot 3}{2 13 \cdot 2 13}

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 3 = 21

= \frac{21 3}{2 \cdot 2 13 13}

213 \cdot 213 = 52

213 \cdot 213

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 41313

Wende Radikal Regel an:

a a = a

1313 = 13

= 4 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 = 52

= 52

= \frac{21 3}{52}

\frac{3}{2 13} 1 - (3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2} = \frac{5 3}{52}

\frac{3}{2 13} 1 - (3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2}

1 - (3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2} = \frac{5}{2 13}

1 - (3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2}

(3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2} = \frac{27}{52}

(3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2}

Multipliziere

3 \cdot \frac{3}{2 13} : \frac{3 3}{2 13}

3 \cdot \frac{3}{2 13}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 3}{2 13}

= (\frac{3 \cdot 3}{2 13})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 3 ) ^{2}}{( 2 13 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(213)^{2} = 2^{2} (13)^{2}

= \frac{( 3 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 13 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(33)^{2} = 3^{2} (3)^{2}

= \frac{3 ^{2} ( 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 13 ) ^{2}}

(13)^{2} : 13

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (1 3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 1 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 13

= \frac{( 3 ) ^{2} \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 13}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3 \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 13}

3 \cdot 3^{2} = 3^{3}

3 \cdot 3^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

3 \cdot 3^{2} = 3^{1 + 2}

= 3^{1 + 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= 3^{3}

= \frac{3 ^{3}}{2 ^{2} \cdot 13}

3^{3} = 27

= \frac{27}{2 ^{2} \cdot 13}

2^{2} \cdot 13 = 52

2^{2} \cdot 13

2^{2} = 4

= 4 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 = 52

= 52

= \frac{27}{52}

= 1 - \frac{27}{52}

Füge

1 - \frac{27}{52}

zusammen:

\frac{25}{52}

1 - \frac{27}{52}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 52}{52}

= \frac{1 \cdot 52}{52} - \frac{27}{52}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 52 - 27}{52}

1 \cdot 52 - 27 = 25

1 \cdot 52 - 27

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 52 = 52

= 52 - 27

Subtrahiere die Zahlen:

52 - 27 = 25

= 25

= \frac{25}{52}

= \frac{25}{52}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{25}{52}

52 = 213

52

Primfaktorzerlegung von

52 : 2^{2} \cdot 13

52

52

ist durch

252 = 26 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 26

26

ist durch

226 = 13 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 13 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 213

= \frac{25}{2 13}

25 = 5

25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

= \frac{5}{2 13}

= \frac{5}{2 13} \cdot \frac{3}{2 13}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{3 \cdot 5}{2 13 \cdot 2 13}

213 \cdot 213 = 52

213 \cdot 213

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 41313

Wende Radikal Regel an:

a a = a

1313 = 13

= 4 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 = 52

= 52

= \frac{5 3}{52}

= \frac{21 3}{52} + \frac{5 3}{52}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{21 3 + 5 3}{52}

Addiere gleiche Elemente:

213 + 53 = 263

= \frac{26 3}{52}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

26

= \frac{3}{2}

\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Wahr

Setze ein

x = - \frac{3}{2 13} :

Falsch

3 (- \frac{3}{2 13}) 1 - (- \frac{3}{2 13})^{2} + (- \frac{3}{2 13}) 1 - (3 (- \frac{3}{2 13}))^{2} = \frac{3}{2}

3 (- \frac{3}{2 13}) 1 - (- \frac{3}{2 13})^{2} + (- \frac{3}{2 13}) 1 - (3 (- \frac{3}{2 13}))^{2} = - \frac{3}{2}

3 (- \frac{3}{2 13}) 1 - (- \frac{3}{2 13})^{2} + (- \frac{3}{2 13}) 1 - (3 (- \frac{3}{2 13}))^{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 3 \cdot \frac{3}{2 13} 1 - (- \frac{3}{2 13})^{2} - \frac{3}{2 13} 1 - (- 3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2}

3 \cdot \frac{3}{2 13} 1 - (- \frac{3}{2 13})^{2} = \frac{21 3}{52}

3 \cdot \frac{3}{2 13} 1 - (- \frac{3}{2 13})^{2}

1 - (- \frac{3}{2 13})^{2} = \frac{7}{2 13}

1 - (- \frac{3}{2 13})^{2}

(- \frac{3}{2 13})^{2} = \frac{3}{52}

(- \frac{3}{2 13})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{3}{2 13})^{2} = (\frac{3}{2 13})^{2}

= (\frac{3}{2 13})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{( 2 13 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(213)^{2} = 2^{2} (13)^{2}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 13 ) ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{2 ^{2} ( 13 ) ^{2}}

(13)^{2} : 13

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (1 3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 1 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 13

= \frac{3}{2 ^{2} \cdot 13}

2^{2} \cdot 13 = 52

2^{2} \cdot 13

2^{2} = 4

= 4 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 = 52

= 52

= \frac{3}{52}

= 1 - \frac{3}{52}

Füge

1 - \frac{3}{52}

zusammen:

\frac{49}{52}

1 - \frac{3}{52}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 52}{52}

= \frac{1 \cdot 52}{52} - \frac{3}{52}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 52 - 3}{52}

1 \cdot 52 - 3 = 49

1 \cdot 52 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 52 = 52

= 52 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

52 - 3 = 49

= 49

= \frac{49}{52}

= \frac{49}{52}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{49}{52}

52 = 213

52

Primfaktorzerlegung von

52 : 2^{2} \cdot 13

52

52

ist durch

252 = 26 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 26

26

ist durch

226 = 13 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 13 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 213

= \frac{49}{2 13}

49 = 7

49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

= \frac{7}{2 13}

= 3 \cdot \frac{7}{2 13} \cdot \frac{3}{2 13}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{3 \cdot 7 \cdot 3}{2 13 \cdot 2 13}

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 3 = 21

= \frac{21 3}{2 \cdot 2 13 13}

213 \cdot 213 = 52

213 \cdot 213

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 41313

Wende Radikal Regel an:

a a = a

1313 = 13

= 4 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 = 52

= 52

= \frac{21 3}{52}

\frac{3}{2 13} 1 - (- 3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2} = \frac{5 3}{52}

\frac{3}{2 13} 1 - (- 3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2}

1 - (- 3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2} = \frac{5}{2 13}

1 - (- 3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2}

(- 3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2} = \frac{27}{52}

(- 3 \cdot \frac{3}{2 13})^{2}

Multipliziere

- 3 \cdot \frac{3}{2 13} : - \frac{3 3}{2 13}

- 3 \cdot \frac{3}{2 13}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{3 \cdot 3}{2 13}

= (- \frac{3 3}{2 13})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{3 3}{2 13})^{2} = (\frac{3 \cdot 3}{2 13})^{2}

= (\frac{3 \cdot 3}{2 13})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 3 ) ^{2}}{( 2 13 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(213)^{2} = 2^{2} (13)^{2}

= \frac{( 3 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 13 ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(33)^{2} = 3^{2} (3)^{2}

= \frac{3 ^{2} ( 3 ) ^{2}}{2 ^{2} ( 13 ) ^{2}}

(13)^{2} : 13

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (1 3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 1 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 13

= \frac{( 3 ) ^{2} \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 13}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3 \cdot 3 ^{2}}{2 ^{2} \cdot 13}

3 \cdot 3^{2} = 3^{3}

3 \cdot 3^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

3 \cdot 3^{2} = 3^{1 + 2}

= 3^{1 + 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= 3^{3}

= \frac{3 ^{3}}{2 ^{2} \cdot 13}

3^{3} = 27

= \frac{27}{2 ^{2} \cdot 13}

2^{2} \cdot 13 = 52

2^{2} \cdot 13

2^{2} = 4

= 4 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 = 52

= 52

= \frac{27}{52}

= 1 - \frac{27}{52}

Füge

1 - \frac{27}{52}

zusammen:

\frac{25}{52}

1 - \frac{27}{52}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 52}{52}

= \frac{1 \cdot 52}{52} - \frac{27}{52}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 52 - 27}{52}

1 \cdot 52 - 27 = 25

1 \cdot 52 - 27

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 52 = 52

= 52 - 27

Subtrahiere die Zahlen:

52 - 27 = 25

= 25

= \frac{25}{52}

= \frac{25}{52}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{25}{52}

52 = 213

52

Primfaktorzerlegung von

52 : 2^{2} \cdot 13

52

52

ist durch

252 = 26 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 26

26

ist durch

226 = 13 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

= 2^{2} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 13 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 213

= \frac{25}{2 13}

25 = 5

25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

= \frac{5}{2 13}

= \frac{5}{2 13} \cdot \frac{3}{2 13}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{3 \cdot 5}{2 13 \cdot 2 13}

213 \cdot 213 = 52

213 \cdot 213

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 41313

Wende Radikal Regel an:

a a = a

1313 = 13

= 4 \cdot 13

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 = 52

= 52

= \frac{5 3}{52}

= - \frac{21 3}{52} - \frac{5 3}{52}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 21 3 - 5 3}{52}

Addiere gleiche Elemente:

- 213 - 53 = - 263

= \frac{- 26 3}{52}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{26 3}{52}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

26

= - \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

Falsch

Deshalb ist die Lösung

x = \frac{3}{2 13}

x = \frac{3}{2 13}

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arcsin (3 x) + arcsin (x) = 6 0^{\circ}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{3}{2 13} :

Wahr

\frac{3}{2 13}

Setze ein

n = 1

\frac{3}{2 13}

Setze

x = \frac{3}{2 13}

arcsin (3 x) + arcsin (x) = 6 0^{\circ}

ein, um zu lösen

arcsin (3 \cdot \frac{3}{2 13}) + arcsin (\frac{3}{2 13}) = 6 0^{\circ}

Fasse zusammen

1.04719 \dots = 1.04719 \dots

\Rightarrow Wahr

x = \frac{3}{2 13}

Graph

Beliebte Beispiele

4cos^2(2x)-4cos(2x)+1=0

4 cos^{2} (2 x) - 4 cos (2 x) + 1 = 0

cos(θ)= 2/(sqrt(13))

cos (θ) = \frac{2}{13}

4sin(x-pi)+2=0

4 sin (x - π) + 2 = 0

1/2 tan(2x)=tan(x)

\frac{1}{2} tan (2 x) = tan (x)

sin(x+pi)+cos(x+pi)=0

sin (x + π) + cos (x + π) = 0