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Beliebt Trigonometrie >

74=58cos(x)+71sin(x)

Lösung

74 = 58 cos (x) + 71 sin (x)

Lösung

x = 0.25437 \dots + 2 πn, x = 1.51729 \dots + 2 πn

Grad

x = 14.57452 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 86.93460 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

74 = 58 cos (x) + 71 sin (x)

Subtrahiere

71 sin (x)

von beiden Seiten

58 cos (x) = 74 - 71 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(58 cos (x))^{2} = (74 - 71 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(74 - 71 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

3364 cos^{2} (x) - 5476 + 10508 sin (x) - 5041 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5476 + 10508 sin (x) + 3364 cos^{2} (x) - 5041 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 5476 + 10508 sin (x) + 3364 (1 - sin^{2} (x)) - 5041 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 5476 + 10508 sin (x) + 3364 (1 - sin^{2} (x)) - 5041 sin^{2} (x) : 10508 sin (x) - 8405 sin^{2} (x) - 2112

- 5476 + 10508 sin (x) + 3364 (1 - sin^{2} (x)) - 5041 sin^{2} (x)

Multipliziere aus

3364 (1 - sin^{2} (x)) : 3364 - 3364 sin^{2} (x)

3364 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3364, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 3364 \cdot 1 - 3364 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

3364 \cdot 1 = 3364

= 3364 - 3364 sin^{2} (x)

= - 5476 + 10508 sin (x) + 3364 - 3364 sin^{2} (x) - 5041 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 5476 + 10508 sin (x) + 3364 - 3364 sin^{2} (x) - 5041 sin^{2} (x) : 10508 sin (x) - 8405 sin^{2} (x) - 2112

- 5476 + 10508 sin (x) + 3364 - 3364 sin^{2} (x) - 5041 sin^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 3364 sin^{2} (x) - 5041 sin^{2} (x) = - 8405 sin^{2} (x)

= - 5476 + 10508 sin (x) + 3364 - 8405 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 10508 sin (x) - 8405 sin^{2} (x) - 5476 + 3364

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5476 + 3364 = - 2112

= 10508 sin (x) - 8405 sin^{2} (x) - 2112

= 10508 sin (x) - 8405 sin^{2} (x) - 2112

= 10508 sin (x) - 8405 sin^{2} (x) - 2112

- 2112 + 10508 sin (x) - 8405 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2112 + 10508 sin (x) - 8405 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 2112 + 10508 u - 8405 u^{2} = 0

- 2112 + 10508 u - 8405 u^{2} = 0 : u = \frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}, u = \frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}

- 2112 + 10508 u - 8405 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 8405 u^{2} + 10508 u - 2112 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 8405 u^{2} + 10508 u - 2112 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 8405, b = 10508, c = - 2112

u_{1, 2} = \frac{- 10508 \pm 1050 8 ^{2} - 4 ( - 8405 ) ( - 2112 )}{2 ( - 8405 )}

u_{1, 2} = \frac{- 10508 \pm 1050 8 ^{2} - 4 ( - 8405 ) ( - 2112 )}{2 ( - 8405 )}

1050 8^{2} - 4 (- 8405) (- 2112) = 1162929

1050 8^{2} - 4 (- 8405) (- 2112)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1050 8^{2} - 4 \cdot 8405 \cdot 2112

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8405 \cdot 2112 = 71005440

= 1050 8^{2} - 71005440

1050 8^{2} = 110418064

= 110418064 - 71005440

Subtrahiere die Zahlen:

110418064 - 71005440 = 39412624

= 39412624

Primfaktorzerlegung von

39412624 : 2^{4} \cdot 2 9^{3} \cdot 101

39412624

= 2^{4} \cdot 2 9^{3} \cdot 101

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2 9^{2} \cdot 29 \cdot 101

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{4} 2 9^{2} 29 \cdot 101

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2 9^{2} 29 \cdot 101

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2 9^{2} = 29

= 2^{2} \cdot 29 29 \cdot 101

Fasse zusammen

= 1162929

u_{1, 2} = \frac{- 10508 \pm 116 2929}{2 ( - 8405 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 10508 + 116 2929}{2 ( - 8405 )}, u_{2} = \frac{- 10508 - 116 2929}{2 ( - 8405 )}

u = \frac{- 10508 + 116 2929}{2 ( - 8405 )} : \frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}

\frac{- 10508 + 116 2929}{2 ( - 8405 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 10508 + 116 2929}{- 2 \cdot 8405}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8405 = 16810

= \frac{- 10508 + 116 2929}{- 16810}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 10508 + 1162929 = - (10508 - 1162929)

= \frac{10508 - 116 2929}{16810}

Faktorisiere

10508 - 1162929 : 4 (2627 - 292929)

10508 - 1162929

Schreibe um

= 4 \cdot 2627 - 4 \cdot 292929

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (2627 - 292929)

= \frac{4 ( 2627 - 29 2929 )}{16810}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}

u = \frac{- 10508 - 116 2929}{2 ( - 8405 )} : \frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}

\frac{- 10508 - 116 2929}{2 ( - 8405 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 10508 - 116 2929}{- 2 \cdot 8405}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8405 = 16810

= \frac{- 10508 - 116 2929}{- 16810}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 10508 - 1162929 = - (10508 + 1162929)

= \frac{10508 + 116 2929}{16810}

Faktorisiere

10508 + 1162929 : 4 (2627 + 292929)

10508 + 1162929

Schreibe um

= 4 \cdot 2627 + 4 \cdot 292929

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (2627 + 292929)

= \frac{4 ( 2627 + 29 2929 )}{16810}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}, u = \frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}, sin (x) = \frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}

sin (x) = \frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}, sin (x) = \frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}

sin (x) = \frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405} : x = arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405} : x = arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

58 cos (x) + 71 sin (x) = 74

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1

58 cos (x) + 71 sin (x) = 74

ein, um zu lösen

58 cos (arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1) + 71 sin (arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1) = 74

Fasse zusammen

74 = 74

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1

58 cos (x) + 71 sin (x) = 74

ein, um zu lösen

58 cos (π - arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1) + 71 sin (π - arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1) = 74

Fasse zusammen

- 38.26725 \dots = 74

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1

58 cos (x) + 71 sin (x) = 74

ein, um zu lösen

58 cos (arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1) + 71 sin (arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1) = 74

Fasse zusammen

74 = 74

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1

58 cos (x) + 71 sin (x) = 74

ein, um zu lösen

58 cos (π - arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1) + 71 sin (π - arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 π 1) = 74

Fasse zusammen

67.79681 \dots = 74

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (\frac{2 ( 2627 - 29 2929 )}{8405}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{2 ( 2627 + 29 2929 )}{8405}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.25437 \dots + 2 πn, x = 1.51729 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5sin(x)+4=0

5 sin (x) + 4 = 0

tan(θ)=-7/24

tan (θ) = - \frac{7}{24}

2sin(2θ)=-sqrt(3)

2 sin (2 θ) = - 3

-4cot^2(x)=1+2cot(x)-3cot^2(x)

- 4 cot^{2} (x) = 1 + 2 cot (x) - 3 cot^{2} (x)

tan(x+pi/4)-tan(x-pi/4)=3

tan (x + \frac{π}{4}) - tan (x - \frac{π}{4}) = 3