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Popular Trigonometria >

sin^2(a)+1/(sec(a))= 5/4

Solução

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

Solução

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graus

a = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

Subtrair

\frac{5}{4}

de ambos os lados

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4} = 0

Simplificar

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4} : \frac{4 sin ^{2} ( a ) sec ( a ) + 4 - 5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4}

Converter para fração:

sin^{2} (a) = \frac{sin ^{2} ( a )}{1}

= \frac{sin ^{2} ( a )}{1} + \frac{1}{sec ( a )} - \frac{5}{4}

Mínimo múltiplo comum de

1, sec (a), 4 : 4 sec (a)

1, sec (a), 4

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Mínimo múltiplo comum de

1, 4 : 4

1, 4

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

1

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

1

ou em

4

= 2 \cdot 2

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes em ao menos uma das expressões fatoradas

= 4 sec (a)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{sin ^{2} ( a )}{1} :

multiplique o numerador e o denominador por

4 sec (a)

\frac{sin ^{2} ( a )}{1} = \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a )}{1 \cdot 4 sec ( a )} = \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a )}{4 sec ( a )}

Para

\frac{1}{sec ( a )} :

multiplique o numerador e o denominador por

4

\frac{1}{sec ( a )} = \frac{1 \cdot 4}{sec ( a ) \cdot 4} = \frac{4}{4 sec ( a )}

Para

\frac{5}{4} :

multiplique o numerador e o denominador por

sec (a)

\frac{5}{4} = \frac{5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

= \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a )}{4 sec ( a )} + \frac{4}{4 sec ( a )} - \frac{5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( a ) \cdot 4 sec ( a ) + 4 - 5 sec ( a )}{4 sec ( a )}

\frac{4 sin ^{2} ( a ) sec ( a ) + 4 - 5 sec ( a )}{4 sec ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 sin^{2} (a) sec (a) + 4 - 5 sec (a) = 0

Expresar com seno, cosseno

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} + 4 - 5 \cdot \frac{1}{cos ( a )} = 0

Simplificar

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} + 4 - 5 \cdot \frac{1}{cos ( a )} : \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5 + 4 cos ( a )}{cos ( a )}

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} + 4 - 5 \cdot \frac{1}{cos ( a )}

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )} = \frac{4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )}

4 sin^{2} (a) \frac{1}{cos ( a )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )}

5 \cdot \frac{1}{cos ( a )} = \frac{5}{cos ( a )}

5 \cdot \frac{1}{cos ( a )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{cos ( a )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{cos ( a )}

= \frac{4 sin ^{2} ( a )}{cos ( a )} + 4 - \frac{5}{cos ( a )}

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )} + 4

Converter para fração:

4 = \frac{4 cos ( a )}{cos ( a )}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5}{cos ( a )} + \frac{4 cos ( a )}{cos ( a )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5 + 4 cos ( a )}{cos ( a )}

\frac{4 sin ^{2} ( a ) - 5 + 4 cos ( a )}{cos ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0

Subtrair

4 cos (a)

de ambos os lados

4 sin^{2} (a) - 5 = - 4 cos (a)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} = (- 4 cos (a))^{2}

Subtrair

(- 4 cos (a))^{2}

de ambos os lados

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a) = 0

Fatorar

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a) : (4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a)) (4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a))

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a)

Reescrever

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a)

como

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2}

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 16 cos^{2} (a)

Reescrever

16

como

4^{2}

= (4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - 4^{2} cos^{2} (a)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

4^{2} cos^{2} (a) = (4 cos (a))^{2}

= (4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2}

= (4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(4 sin^{2} (a) - 5)^{2} - (4 cos (a))^{2} = ((4 sin^{2} (a) - 5) + 4 cos (a)) ((4 sin^{2} (a) - 5) - 4 cos (a))

= ((4 sin^{2} (a) - 5) + 4 cos (a)) ((4 sin^{2} (a) - 5) - 4 cos (a))

Simplificar

= (4 sin^{2} (a) + 4 cos (a) - 5) (4 sin^{2} (a) - 4 cos (a) - 5)

(4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a)) (4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a)) = 0

Resolver cada parte separadamente

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0 or 4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a) = 0

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0 : a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

4 sin^{2} (a) - 5 + 4 cos (a) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 5 + 4 cos (a) + 4 sin^{2} (a)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 + 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Simplificar

- 5 + 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a)) : 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

- 5 + 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Expandir

4 (1 - cos^{2} (a)) : 4 - 4 cos^{2} (a)

4 (1 - cos^{2} (a))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (a)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (a)

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (a)

= - 5 + 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Simplificar

- 5 + 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a) : 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

- 5 + 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Agrupar termos semelhantes

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 5 + 4

Somar/subtrair:

- 5 + 4 = - 1

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

= 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 1

- 1 + 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Usando o método de substituição

- 1 + 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Sea:

cos (a) = u

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}

- 1 + 4 u - 4 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 4 u^{2} + 4 u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 4, b = 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

4^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

4^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrair:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 4}{2 ( - 4 )}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )} = \frac{1}{2}

\frac{- 4}{2 ( - 4 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{- 8}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{8}

Eliminar o fator comum:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

A solução para a equação de segundo grau é:

u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (a)

cos (a) = \frac{1}{2}

cos (a) = \frac{1}{2}

cos (a) = \frac{1}{2} : a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (a) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (a) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda as soluções

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a) = 0 : a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

4 sin^{2} (a) - 5 - 4 cos (a) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 5 - 4 cos (a) + 4 sin^{2} (a)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 - 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Simplificar

- 5 - 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a)) : - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

- 5 - 4 cos (a) + 4 (1 - cos^{2} (a))

Expandir

4 (1 - cos^{2} (a)) : 4 - 4 cos^{2} (a)

4 (1 - cos^{2} (a))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (a)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (a)

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (a)

= - 5 - 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Simplificar

- 5 - 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a) : - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

- 5 - 4 cos (a) + 4 - 4 cos^{2} (a)

Agrupar termos semelhantes

= - 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) - 5 + 4

Somar/subtrair:

- 5 + 4 = - 1

= - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

= - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

= - 4 cos^{2} (a) - 4 cos (a) - 1

- 1 - 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Usando o método de substituição

- 1 - 4 cos (a) - 4 cos^{2} (a) = 0

Sea:

cos (a) = u

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}

- 1 - 4 u - 4 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 4, b = - 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 0

(- 4)^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrair:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )}

\frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )} = - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 )}{2 ( - 4 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{- 8}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Eliminar o fator comum:

4

= - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

A solução para a equação de segundo grau é:

u = - \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = cos (a)

cos (a) = - \frac{1}{2}

cos (a) = - \frac{1}{2}

cos (a) = - \frac{1}{2} : a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (a) = - \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (a) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Combinar toda as soluções

a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Combinar toda as soluções

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn, a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

\frac{π}{3} + 2 πn :

Verdadeiro

\frac{π}{3} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Para

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

inserir

a = \frac{π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (\frac{π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Simplificar

1.25 = 1.25

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Verdadeiro

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Para

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

inserir

a = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{5 π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Simplificar

1.25 = 1.25

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Falso

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Para

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

inserir

a = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{2 π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Simplificar

0.25 = 1.25

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Falso

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Para

sin^{2} (a) + \frac{1}{sec ( a )} = \frac{5}{4}

inserir

a = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

sin^{2} (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) + \frac{1}{sec ( \frac{4 π}{3} + 2 π 1 )} = \frac{5}{4}

Simplificar

0.25 = 1.25

\Rightarrow Falso

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

(csc(x))/(cot(x))=sqrt(2)

\frac{csc ( x )}{cot ( x )} = 2

sin(4x)+6cos(2x)=0

sin (4 x) + 6 cos (2 x) = 0

sec(a)= 41/12 ,2pi<a<(5pi)/2 ,sin(a/2)

sec (a) = \frac{41}{12}, 2 π < a < \frac{5 π}{2}, sin (\frac{a}{2})

sin(2x)=0.3

sin (2 x) = 0.3

sin(2x)=0.6

sin (2 x) = 0.6