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Populaire Trigonométrie >

sec^2(θ)+tan(θ)=1

Solution

sec^{2} (θ) + tan (θ) = 1

Solution

θ = \frac{3 π}{4} + πn

Degrés

θ = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

étapes des solutions

sec^{2} (θ) + tan (θ) = 1

Soustraire

1

des deux côtés

sec^{2} (θ) + tan (θ) - 1 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 1 + sec^{2} (θ) + tan (θ)

Utiliser l'identité hyperbolique:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

sec^{2} (x) - 1 = tan^{2} (x)

= tan (θ) + tan^{2} (θ)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= \frac{1}{cot ( θ )} + (\frac{1}{cot ( θ )})^{2}

(\frac{1}{cot ( θ )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cot ( θ )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( θ )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cot ( θ )} + \frac{1}{cot ^{2} ( θ )}

\frac{1}{cot ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cot ( θ )} = 0

Résoudre par substitution

\frac{1}{cot ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cot ( θ )} = 0

Soit :

cot (θ) = u

\frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

\frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0 : u = - 1

\frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Multiplier par le PPCM

\frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Trouver le plus petit commun multiple de

u^{2}, u : u^{2}

u^{2}, u

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

u^{2}

ou dans

u

= u^{2}

Multipier par PPCM =

u^{2}

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplifier

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplifier

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Annuler le facteur commun :

u^{2}

= 1

Simplifier

\frac{1}{u} u^{2} : u

\frac{1}{u} u^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

Multiplier:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= \frac{u ^{2}}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= u

Simplifier

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

1 + u = 0

1 + u = 0

1 + u = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 + u = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 + u - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

\frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u}

et le comparer à zéro

Résoudre

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Appliquer la règle

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = - 1

Remplacer

u = cot (θ)

cot (θ) = - 1

cot (θ) = - 1

cot (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{4} + πn

cot (θ) = - 1

Solutions générales pour

cot (θ) = - 1

Tableau de périodicité

cot (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

θ = \frac{3 π}{4} + πn

θ = \frac{3 π}{4} + πn

Combiner toutes les solutions

θ = \frac{3 π}{4} + πn

Graphe

Exemples populaires

cos^2(x)+cos(x)+1=0

cos^{2} (x) + cos (x) + 1 = 0

cos(x)=cos(x/2)

cos (x) = cos (\frac{x}{2})

3tan^2(x)-sqrt(3)tan(x)=0

3 tan^{2} (x) - 3 tan (x) = 0

4sin(x)+6=6

4 sin (x) + 6 = 6

sqrt(2)cos(x)+sqrt(2)sin(x)=1

2 cos (x) + 2 sin (x) = 1