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受欢迎的三角函数 >

-9sin^2(θ)+cos(θ)+19=-5cos(θ)+9

解答

- 9 sin^{2} (θ) + cos (θ) + 19 = - 5 cos (θ) + 9

解答

θ = 1.91063 \dots + 2 πn, θ = - 1.91063 \dots + 2 πn

+1

度数

θ = 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

- 9 sin^{2} (θ) + cos (θ) + 19 = - 5 cos (θ) + 9

两边减去

- 5 cos (θ) + 9

6 cos (θ) - 9 sin^{2} (θ) + 10 = 0

使用三角恒等式改写

10 + 6 cos (θ) - 9 sin^{2} (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 10 + 6 cos (θ) - 9 (1 - cos^{2} (θ))

化简

10 + 6 cos (θ) - 9 (1 - cos^{2} (θ)) : 9 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 1

10 + 6 cos (θ) - 9 (1 - cos^{2} (θ))

乘开

- 9 (1 - cos^{2} (θ)) : - 9 + 9 cos^{2} (θ)

- 9 (1 - cos^{2} (θ))

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) cos^{2} (θ)

使用加减运算法则

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 cos^{2} (θ)

数字相乘:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 cos^{2} (θ)

= 10 + 6 cos (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ)

化简

10 + 6 cos (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ) : 9 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 1

10 + 6 cos (θ) - 9 + 9 cos^{2} (θ)

对同类项分组

= 6 cos (θ) + 9 cos^{2} (θ) + 10 - 9

数字相加/相减:

10 - 9 = 1

= 9 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 1

= 9 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 1

= 9 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) + 1

1 + 6 cos (θ) + 9 cos^{2} (θ) = 0

用替代法求解

1 + 6 cos (θ) + 9 cos^{2} (θ) = 0

令

: cos (θ) = u

1 + 6 u + 9 u^{2} = 0

1 + 6 u + 9 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{3}

1 + 6 u + 9 u^{2} = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

9 u^{2} + 6 u + 1 = 0

使用求根公式求解

9 u^{2} + 6 u + 1 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 9, b = 6, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1}{2 \cdot 9}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1}{2 \cdot 9}

6^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 0

6^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1

数字相乘:

4 \cdot 9 \cdot 1 = 36

= 6^{2} - 36

6^{2} = 36

= 36 - 36

数字相减:

36 - 36 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 0}{2 \cdot 9}

u = \frac{- 6}{2 \cdot 9}

\frac{- 6}{2 \cdot 9} = - \frac{1}{3}

\frac{- 6}{2 \cdot 9}

数字相乘:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{- 6}{18}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{18}

约分:

6

= - \frac{1}{3}

u = - \frac{1}{3}

二次方程组的解是:

u = - \frac{1}{3}

u = cos (θ)

代回

cos (θ) = - \frac{1}{3}

cos (θ) = - \frac{1}{3}

cos (θ) = - \frac{1}{3} : θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{3}

使用反三角函数性质

cos (θ) = - \frac{1}{3}

cos (θ) = - \frac{1}{3}

的通解

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

合并所有解

θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

以小数形式表示解

θ = 1.91063 \dots + 2 πn, θ = - 1.91063 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

4cos(θ)sin(θ)+3cos(θ)=0

4 cos (θ) sin (θ) + 3 cos (θ) = 0

2 + 3 cos (θ) = 0

sin(θ)=-24/25 ,pi<θ<(3pi)/2

sin (θ) = - \frac{24}{25}, π < θ < \frac{3 π}{2}

3 sec^{2} (x) - 6 = 0

sin (x) = \frac{6}{19}